Номер 913, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 913, страница 181.

Условие.

913. Представьте в виде произведения:

а) (2х + у)² − (х − 2у)²;
б) (а + b)² − (b + с)²;

в) (m + n)² − (m − n)²;
г) (4с − х)² − (2с + 3х)².

Решение 1.

а) (2х + у)² − (х − 2у)² =
= ((2x + y) - (x - 2y)) ×
× ((2x + y) + (x - 2y)) =
= (2x + y - x + 2y) ×
× (2x + y + x - 2y) =
= (x + 3y) (3x - y);

б) (а + b)² − (b + с)² =
= ((a + b) - (b + c)) ×
× ((a + b) + (b + c)) =
= (a + b - b - c) (a + b + b + c) =
= (a - c) (a + 2b + c);

в) (m + n)² − (m − n)² =
= ((m + n) - (m - n)) ×
×((m + n) + (m - n)) =
= (m + n - m + n) ×
× (m + n + m - n) =
= 2n ⋅ 2m = 4mn;

г) (4с − х)² − (2с + 3х)² =
= ((4c - x) - (2c + 3x)) ×
×((4c - x) + (2c + 3x)) =
= (4c - x - 2c - 3x) ×
× (4c - x + 2c + 3x) =
(2c - 4x) (6c + 2x) =
= 2(c - 2x) ⋅ 2(3c + x) =
= 4(c - 2x) (3c + x).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $(2x + y)^2 - (x - 2y)^2$

В данном выражении $a = (2x + y)$ и $b = (x - 2y)$. Применим формулу разности квадратов:

$(2x + y)^2 - (x - 2y)^2 = ((2x + y) - (x - 2y))((2x + y) + (x - 2y))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя и приведем подобные слагаемые:

Первый множитель: $(2x + y) - (x - 2y) = 2x + y - x + 2y = x + 3y$

Второй множитель: $(2x + y) + (x - 2y) = 2x + y + x - 2y = 3x - y$

Таким образом, исходное выражение равно произведению $(x + 3y)(3x - y)$.

Ответ: $(x + 3y)(3x - y)$.

б) $(a + b)^2 - (b + c)^2$

Здесь $a = (a + b)$ и $b = (b + c)$. Применим формулу разности квадратов:

$(a + b)^2 - (b + c)^2 = ((a + b) - (b + c))((a + b) + (b + c))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(a + b) - (b + c) = a + b - b - c = a - c$

Второй множитель: $(a + b) + (b + c) = a + b + b + c = a + 2b + c$

Результат: $(a - c)(a + 2b + c)$.

Ответ: $(a - c)(a + 2b + c)$.

в) $(m + n)^2 - (m - n)^2$

В этом выражении $a = (m + n)$ и $b = (m - n)$. Используем формулу:

$(m + n)^2 - (m - n)^2 = ((m + n) - (m - n))((m + n) + (m - n))$

Упростим множители:

Первый множитель: $(m + n) - (m - n) = m + n - m + n = 2n$

Второй множитель: $(m + n) + (m - n) = m + n + m - n = 2m$

Перемножим полученные выражения: $(2n)(2m) = 4mn$.

Ответ: $4mn$.

г) $(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2$

Здесь $a = (4c - x)$ и $b = (2c + 3x)$. Применим формулу разности квадратов:

$(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2 = ((4c - x) - (2c + 3x))((4c - x) + (2c + 3x))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(4c - x) - (2c + 3x) = 4c - x - 2c - 3x = 2c - 4x$

Второй множитель: $(4c - x) + (2c + 3x) = 4c - x + 2c + 3x = 6c + 2x$

Получаем произведение $(2c - 4x)(6c + 2x)$. Из первого множителя можно вынести 2, а из второго 2:

$2(c - 2x) \cdot 2(3c + x) = 4(c - 2x)(3c + x)$

Ответ: $4(c - 2x)(3c + x)$.