Номер 915, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 915, страница 181.

Условие.

915. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 88). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Решение 1.

Пусть ${а}_{\mathit{с}\mathit{м}}$ – ширина прямоугольника и сторона меньшего квадрата, тогда (a + 5) см – длина прямоугольника и сторона большего квадрата. Зная, что площадь большего квадрата на 95 см² больше площади другого квадрата, составим и решим уравнение:

1) (a + 5)² - a² = 95;
(a + 5 - a) (a + 5 + a) = 95;
5(2a + 5) = 95;
2a + 5 = 19;
2a = 14;
a = 7;

2) 7 + 5 = 12 (см) – длина;

3) P = (7 + 12) ⋅ 2 = 38 (см).

Ответ: 38 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть ширина прямоугольника равна $b$ см, а длина – $a$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:

$a = b + 5$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на ширине прямоугольника, равна $S_b = b^2$ см?. Площадь квадрата, построенного на длине, равна $S_a = a^2$ см?.

По условию задачи, площадь одного квадрата на 95 см? больше площади другого. Так как длина $a$ больше ширины $b$ ($a > b$), то и площадь квадрата со стороной $a$ будет больше площади квадрата со стороной $b$ ($a^2 > b^2$). Таким образом, получаем второе уравнение:

$S_a = S_b + 95$

или

$a^2 = b^2 + 95$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$a = b + 5$

$a^2 = b^2 + 95$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 5)^2 = b^2 + 95$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$b^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = b^2 + 95$

$b^2 + 10b + 25 = b^2 + 95$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$10b + 25 = 95$

Перенесем 25 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$10b = 95 - 25$

$10b = 70$

Найдем $b$:

$b = \frac{70}{10}$

$b = 7$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 7 см.

Теперь найдем длину прямоугольника $a$, используя первое уравнение:

$a = b + 5 = 7 + 5 = 12$

Длина прямоугольника равна 12 см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим найденные значения длины и ширины:

$P = 2(12 + 7)$

$P = 2 \cdot 19$

$P = 38$

Следовательно, периметр прямоугольника равен 38 см.

Ответ: 38 см.