Номер 914, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 914, страница 181.

Условие.

914. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)² − 9 делится на 4.
б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² − n² делится на 7.

Решение 1.

а) (4n + 5)² - 9 =
= (4n + 5)² - 3² =
= (4n + 5 - 3) (4n + 5 + 3) =
= (4n + 2) (4n + 8) =
= 2(2n + 1) ⋅ 4(n + 8)

Так как среди множителей есть 4, то выражение делится на 4 при любом натуральном n.

б) (n + 7)² - n² =
= (n + 7 - n) (n + 7 + n) =
= 7(2n + 7)

Так как среди множителей есть 7, то выражение делится на 7 при любом натуральном n.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 5)^2 - 9$ делится на 4 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим 9 как $3^2$. Тогда наше выражение примет вид:

$(4n + 5)^2 - 3^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4n + 5$ и $b = 3$:

$((4n + 5) - 3)((4n + 5) + 3)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4n + 2)(4n + 8)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести 2, а из второй — 4:

$2(2n + 1) \cdot 4(n + 2) = 8(2n + 1)(n + 2)$

Полученное выражение имеет множитель 8. Поскольку 8 делится на 4 без остатка ($8 = 4 \cdot 2$), то и все произведение $8(2n + 1)(n + 2)$ также делится на 4 при любом натуральном значении $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 7)^2 - n^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$, также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = n + 7$ и $b = n$. Применим формулу:

$(n + 7)^2 - n^2 = ((n + 7) - n)((n + 7) + n)$

Упростим выражения в скобках:

$(7)(2n + 7)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 7 и выражения $(2n + 7)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $(2n + 7)$ всегда будет целым числом. Произведение целого числа на 7 всегда делится на 7. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.