Номер 918, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 918, страница 182.

Условие.

918. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

Решение 1.

а) 0,25x² - 0,6xy + 0,36y² =
= (0,5x)² - 2 ⋅ 0,5x ⋅ 0,6y + (0,6y)² =
= (0,5x - 0,6y)²;

б) -a² + 0,6a - 0,09 =
= -(a² - 0,6a + 0,09) =
= -(a² - 2 ⋅ a ⋅ 0,3 + 0,3²) =
= -(a - 0,3)²;

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{9}{16}{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{a}}^3+\frac{4}{9}{\mathrm{a}}^2=$

$={\left(\frac{3}{4}{\mathrm{a}}^2\right)}^2+2·\frac{3}{4}{\mathrm{a}}^2·\frac{2}{3}\mathrm{a}+{\left(\frac{2}{3}\mathrm{a}\right)}^2=$

$={\left(\frac{3}{4}{\mathrm{a}}^2+\frac{2}{3}\mathrm{a}\right)}^2;$

г) -16m² - 24mn - 9n² =
= -(16m² + 24mn + 9n²) =
= -((4m)² + 2 ⋅ 4m ⋅ 3n + (3n)²) =
= -(4m + 3n)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить многочлен $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член многочлена $0,25x^2$ можно представить как квадрат выражения $0,5x$, так как $(0,5x)^2 = 0,25x^2$.

Третий член $0,36y^2$ можно представить как квадрат выражения $0,6y$, так как $(0,6y)^2 = 0,36y^2$.

Теперь проверим, равен ли второй член $-0,6xy$ удвоенному произведению $-2ab$, где $a = 0,5x$ и $b = 0,6y$.

$-2 \cdot (0,5x) \cdot (0,6y) = -1x \cdot 0,6y = -0,6xy$.

Поскольку все условия формулы выполняются, многочлен является квадратом разности выражений $0,5x$ и $0,6y$.

$0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2 = (0,5x - 0,6y)^2$.

Ответ: $(0,5x - 0,6y)^2$.

б) В выражении $-a^2 + 0,6a - 0,09$ вынесем за скобки $-1$.

$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a^2 - 0,6a + 0,09)$.

Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Представим $a^2$ как $(a)^2$ и $0,09$ как $(0,3)^2$.

Проверим средний член: $-2 \cdot a \cdot 0,3 = -0,6a$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 0,6a + 0,09 = (a - 0,3)^2$.

Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.

$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a - 0,3)^2$.

Ответ: $-(a - 0,3)^2$.

в) В многочлене $\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Первый член $\frac{9}{16}a^4$ можно представить как квадрат выражения $\frac{3}{4}a^2$, так как $(\frac{3}{4}a^2)^2 = \frac{9}{16}a^4$.

Третий член $\frac{4}{9}a^2$ можно представить как квадрат выражения $\frac{2}{3}a$, так как $(\frac{2}{3}a)^2 = \frac{4}{9}a^2$.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $2xy$, где $x = \frac{3}{4}a^2$ и $y = \frac{2}{3}a$.

$2 \cdot (\frac{3}{4}a^2) \cdot (\frac{2}{3}a) = 2 \cdot \frac{6}{12}a^3 = 2 \cdot \frac{1}{2}a^3 = a^3$.

Средний член совпадает, следовательно, многочлен является квадратом суммы.

$\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2 = (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

г) В выражении $-16m^2 - 24mn - 9n^2$ вынесем за скобки $-1$.

$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(16m^2 + 24mn + 9n^2)$.

Теперь преобразуем выражение в скобках $16m^2 + 24mn + 9n^2$, используя формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Представим $16m^2$ как $(4m)^2$ и $9n^2$ как $(3n)^2$.

Проверим средний член: $2 \cdot (4m) \cdot (3n) = 24mn$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $16m^2 + 24mn + 9n^2 = (4m + 3n)^2$.

Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.

$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(4m + 3n)^2$.

Ответ: $-(4m + 3n)^2$.