Номер 924, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 924, страница 183.

Условие.

924. Разложите на множители:

Решение 1.

а) 8 - m³ = 2³ - m³ =
= (2 - m) (4 + 2m + m²);

б) c³ + 27 = c³ + 3³ =
= (c + 3) (c² - 3c + 9);

в) 64x³ + 1 = (4x)³ + 1³ =
= (4x + 1) (16x² - 4x + 1);

$\mathbf{г}\mathbf{)} 1-\frac{1}{8}{\mathrm{p}}^3=1^3-{\left(\frac{1}{2}\mathrm{p}\right)}^3=$

$=\left(1-\frac{1}{2}\mathrm{p}\right) \left(1+\frac{1}{2}\mathrm{p}+\frac{1}{4}{\mathrm{p}}^2\right);$

д) m³ - 27n³ = m³ - (3n)³ =
= (m - 3n) (m² + 3mn + 9n²);

$\mathbf{е}\mathbf{)} \frac{1}{8}{\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3={\left(\frac{1}{2}\mathrm{a}\right)}^3+{\mathrm{b}}^3=$

$=\left(\frac{1}{2}\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \left(\frac{1}{4}{\mathrm{a}}^2-\frac{1}{2}\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $8 - m^3$ используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $8$ можно представить как $2^3$. Таким образом, $a = 2$ и $b = m$.

Подставим значения в формулу:

$8 - m^3 = 2^3 - m^3 = (2 - m)(2^2 + 2 \cdot m + m^2) = (2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

Ответ: $(2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

б) Для разложения выражения $c^3 + 27$ применяется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Здесь $27$ можно представить как $3^3$. Значит, $a = c$ и $b = 3$.

Подставим значения в формулу:

$c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 - c \cdot 3 + 3^2) = (c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

Ответ: $(c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

в) Выражение $64x^3 + 1$ представляет собой сумму кубов. Представим $64x^3$ как $(4x)^3$ и $1$ как $1^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 4x$ и $b = 1$.

Подставим значения в формулу:

$64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)((4x)^2 - 4x \cdot 1 + 1^2) = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

Ответ: $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

г) Для разложения выражения $1 - \frac{1}{8}p^3$ воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Представим выражение в виде $1^3 - (\frac{1}{2}p)^3$. В этом случае $a = 1$ и $b = \frac{1}{2}p$.

Подставим значения в формулу:

$1 - \frac{1}{8}p^3 = 1^3 - (\frac{1}{2}p)^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + (\frac{1}{2}p)^2) = (1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

Ответ: $(1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

д) Выражение $m^3 - 27n^3$ является разностью кубов. Представим его как $m^3 - (3n)^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = m$ и $b = 3n$.

Подставим значения в формулу:

$m^3 - 27n^3 = m^3 - (3n)^3 = (m - 3n)(m^2 + m \cdot 3n + (3n)^2) = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

Ответ: $(m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

е) Для разложения выражения $\frac{1}{8}a^3 + b^3$ применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$. Здесь $x = \frac{1}{2}a$ и $y = b$.

Подставим значения в формулу:

$\frac{1}{8}a^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.