Номер 923, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 923, страница 183.

Условие.

923. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

Решение 1.

а) 8x³ - 1 = (2x)³ - 1³ =
= (2x - 1) (4x² + 2x + 1);

б) 1 + 27y³ = 1³ + (3y)³ =
= (1 + 3y) (1 - 3y + 9y²);

$\mathbf{в}\mathbf{)} 8-\frac{1}{8}{\mathrm{a}}^3=2^3-{\left(\frac{1}{2}\mathrm{a}\right)}^3=$

$=\left(2-\frac{1}{2}\mathrm{a}\right) \left(4+\mathrm{a}+\frac{1}{4}{\mathrm{a}}^2\right);$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \frac{1}{64}{\mathrm{m}}^3+1000={\left(\frac{1}{4}\mathrm{m}\right)}^3+{10}^3=$

$=\left(\frac{1}{4}\mathrm{m}+10\right) \left(\frac{1}{16}{\mathrm{m}}^2-2,5\mathrm{m}+100\right);$

д) 125a³ - 64b³ = (5a)³ - (4b)³ =
= (5a - 4b) (25a² + 20ab + 16b²);

$\mathbf{е}\mathbf{)} \frac{1}{27}{\mathrm{x}}^3+\frac{1}{125}{\mathrm{y}}^3={\left(\frac{1}{3}\mathrm{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{5}\mathrm{y}\right)}^3=$

$=\left(\frac{1}{3}\mathrm{x}+\frac{1}{5}\mathrm{y}\right) \left(\frac{1}{9}{\mathrm{x}}^2-\frac{1}{15}\mathrm{xy}+\frac{1}{25}{\mathrm{y}}^2\right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

а)

Представим выражение $8x^3 - 1$ в виде разности кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(2x)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2x$ и $b = 1$:

$(2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x) \cdot 1 + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

б)

Представим выражение $1 + 27y^3$ в виде суммы кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $27y^3 = (3y)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $1^3 + (3y)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = 1$ и $b = 3y$:

$1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1^2 - 1 \cdot (3y) + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

Ответ: $(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

в)

Представим выражение $8 - \frac{1}{8}a^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $2^3 - (\frac{1}{2}a)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2$ и $b = \frac{1}{2}a$:

$2^3 - (\frac{1}{2}a)^3 = (2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) + (\frac{1}{2}a)^2) = (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

Ответ: $(2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

г)

Представим выражение $\frac{1}{64}m^3 + 1000$ в виде суммы кубов. Заметим, что $\frac{1}{64}m^3 = (\frac{1}{4}m)^3$ и $1000 = 10^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 10$:

$(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3 = (\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - (\frac{1}{4}m) \cdot 10 + 10^2) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

Ответ: $(\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

д)

Представим выражение $125a^3 - 64b^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $125a^3 = (5a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(5a)^3 - (4b)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 5a$ и $b = 4b$:

$(5a)^3 - (4b)^3 = (5a - 4b)((5a)^2 + (5a)(4b) + (4b)^2) = (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

Ответ: $(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

е)

Представим выражение $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$ в виде суммы кубов. Заметим, что $\frac{1}{27}x^3 = (\frac{1}{3}x)^3$ и $\frac{1}{125}y^3 = (\frac{1}{5}y)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = \frac{1}{5}y$:

$(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - (\frac{1}{3}x)(\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2) = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.