Номер 929, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 929, страница 184.

Условие.

929. Докажите, что значение выражения:
а) 327³ + 173³ делится на 500;
б) 731³ − 631³ делится на 100;
в) 211³ + 129³ делится на 17;
г) 356³ − 245³ делится на 3.

Решение 1.

а) 327³ + 173³ =
= (327 + 173) (327² - 327 ⋅ 173 + 173²) =
= 500 (327² - 327 ⋅ 173 + 173²);

б) 731³ - 631³ =
= (731 - 631) (731² + 731 ⋅ 631 + 631²) =
= 100 ⋅ (731² + 731 ⋅ 631 + 631²);

в) 211³ + 129³ =
= (211 + 129) (211² - 211 ⋅ 129 + 129²) =
= 340 ⋅ (211² - 211 ⋅ 129 + 129²) =
= 17 ⋅ 20 (211² - 211 ⋅ 129 + 129²);

г) 356³ - 245³ =
= (356 - 245) (356² + 356 ⋅ 245 + 245²) =
= 111 ⋅ (356² + 356 ⋅ 245 + 245²) =
= 3 ⋅ 37 ⋅ (356² + 356 ⋅ 245 + 245²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $327^3 + 173^3$ делится на 500, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 327$ и $b = 173$:

$327^3 + 173^3 = (327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$327 + 173 = 500$

Следовательно, исходное выражение равно:

$500 \cdot (327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$

Так как один из множителей равен 500, то всё произведение делится на 500. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $731^3 - 631^3$ делится на 100, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 731$ и $b = 631$:

$731^3 - 631^3 = (731 - 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$731 - 631 = 100$

Следовательно, исходное выражение равно:

$100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$

Так как один из множителей равен 100, то всё произведение делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $211^3 + 129^3$ делится на 17, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 211$ и $b = 129$:

$211^3 + 129^3 = (211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$211 + 129 = 340$

Проверим, делится ли 340 на 17:

$340 \div 17 = 20$

Так как первый множитель (340) делится на 17, то и всё произведение $340 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$ делится на 17. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что выражение $356^3 - 245^3$ делится на 3, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 356$ и $b = 245$:

$356^3 - 245^3 = (356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$356 - 245 = 111$

Проверим, делится ли 111 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1 + 1 + 1 = 3$. Так как 3 делится на 3, то и 111 делится на 3.

Так как первый множитель (111) делится на 3, то и всё произведение $111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$ делится на 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.