Номер 1, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1, страница 184.

1 Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это одна из ключевых формул сокращённого умножения, которая носит название «разность квадратов».

Соответствующая формула

Если обозначить два произвольных выражения как a и b, то их разность будет $a - b$, а их сумма — $a + b$. Формула для их произведения выглядит следующим образом:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Доказательство формулы

Для доказательства данного тождества необходимо раскрыть скобки в левой части равенства, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
Упростим полученное выражение, учитывая, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$. Также, согласно коммутативному закону умножения, $b \cdot a = a \cdot b$.
Получаем:
$a^2 + ab - ab - b^2$
Слагаемые $ab$ и $-ab$ являются подобными и при сложении взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю: $ab - ab = 0$.
В результате в выражении остаются только два члена:
$a^2 - b^2$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили в точности его правую часть: $a^2 - b^2$. Тождество доказано.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответствующая формула: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.