Номер 925, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 925, страница 184.

Условие.

925. Запишите в виде произведения выражение:

а) х³ − y⁶;
б) а⁶ + b³;

в) m⁹ − n³;
г) p³ + k⁹;

д) а⁶ + b⁹;
е) х⁹ − у⁹.

Решение 1.

а) х³ − y⁶ = x³ - (y²)³ =
= (x - y²) (x² + xy² + y⁴);

б) а⁶ + b³ = (a²)³ + b³ =
= (a² + b) (a⁴ - a²b + b²);

в) m⁹ − n³ = (m³)³ - n³ =
= (m³ - n) (m⁶ + m³n + n²);

г) p³ + q⁹ = p³ + (q³)³ =
= (p + q³) (p² - pq³ + q⁶);

д) а⁶ + b⁹ = (a²)³ + (b³)³ =
= (a² + b³) (a⁴ - a²b³ + b⁶);

е) х⁹ − у⁹ = (x³)³ - (y³)³ =
= (x³ - y³) (x⁶ + x³y³ + y⁶) =
= (x - y) (x² + xy + y²) ×
× (x⁶ + x³y³ + y⁶).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3 - y^6$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $y^6 = (y^2)^3$. Тогда выражение можно записать как $x^3 - (y^2)^3$.
Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = x$ и $b = y^2$.
Подставив в формулу, получим:
$x^3 - (y^2)^3 = (x - y^2)(x^2 + x \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.
Ответ: $(x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 + b^3$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$. Тогда выражение можно записать как $(a^2)^3 + b^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = a^2$ и $b = b$.
Подставив в формулу, получим:
$(a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)((a^2)^2 - a^2 \cdot b + b^2) = (a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.
Ответ: $(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $m^9 - n^3$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $m^9 = (m^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(m^3)^3 - n^3$.
Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = m^3$ и $b = n$.
Подставив в формулу, получим:
$(m^3)^3 - n^3 = (m^3 - n)((m^3)^2 + m^3 \cdot n + n^2) = (m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.
Ответ: $(m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $p^3 + k^9$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $k^9 = (k^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $p^3 + (k^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = p$ и $b = k^3$.
Подставив в формулу, получим:
$p^3 + (k^3)^3 = (p + k^3)(p^2 - p \cdot k^3 + (k^3)^2) = (p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.
Ответ: $(p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 + b^9$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(a^2)^3 + (b^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = a^2$ и $b = b^3$.
Подставив в формулу, получим:
$(a^2)^3 + (b^3)^3 = (a^2 + b^3)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $x^9 - y^9$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(x^3)^3 - (y^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:
$(x^3)^3 - (y^3)^3 = (x^3 - y^3)((x^3)^2 + x^3y^3 + (y^3)^2) = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Множитель $(x^3 - y^3)$ также можно разложить по формуле разности кубов:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.