Страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

921. Разложите на множители многочлен:

а) Для разложения многочлена $x^3 + y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном выражении $a = x$ и $b = y$.
Применяя формулу, получаем:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

б) Для разложения многочлена $m^3 - n^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном выражении $a = m$ и $b = n$.
Применяя формулу, получаем:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

в) Чтобы разложить многочлен $8 + a^3$, сначала представим число 8 как куб числа: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $2^3 + a^3$, что является суммой кубов.
Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 2$ и $B = a$.
$2^3 + a^3 = (2 + a)(2^2 - 2 \cdot a + a^2) = (2 + a)(4 - 2a + a^2)$.
Ответ: $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$.

г) Чтобы разложить многочлен $27 - y^3$, сначала представим число 27 как куб числа: $27 = 3^3$.
Теперь выражение имеет вид $3^3 - y^3$, что является разностью кубов.
Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 3$ и $B = y$.
$3^3 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3 \cdot y + y^2) = (3 - y)(9 + 3y + y^2)$.
Ответ: $(3 - y)(9 + 3y + y^2)$.

д) Для разложения многочлена $t^3 + 1$ представим 1 как куб: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $t^3 + 1^3$, что является суммой кубов.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = t$ и $B = 1$.
$t^3 + 1^3 = (t + 1)(t^2 - t \cdot 1 + 1^2) = (t + 1)(t^2 - t + 1)$.
Ответ: $(t + 1)(t^2 - t + 1)$.

е) Для разложения многочлена $1 - c^3$ представим 1 как куб: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $1^3 - c^3$, что является разностью кубов.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 1$ и $B = c$.
$1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)$.

922. Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:

Для решения этого задания необходимо применить формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

а) Для выражения $c^3 - d^3$ применяем формулу разности кубов напрямую, где в качестве $a$ выступает $c$, а в качестве $b$ выступает $d$.
$c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + c \cdot d + d^2) = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$.
Ответ: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

б) Для выражения $p^3 + q^3$ применяем формулу суммы кубов, где $a=p$ и $b=q$.
$p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - p \cdot q + q^2) = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$.
Ответ: $(p + q)(p^2 - pq + q^2)$.

в) В выражении $x^3 - 64$ сначала представим $64$ как куб числа: $64 = 4^3$. Получаем разность кубов $x^3 - 4^3$.
Применяем формулу, где $a=x$ и $b=4$:
$x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.
Ответ: $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.

г) В выражении $125 + a^3$ представим $125$ как куб числа: $125 = 5^3$. Получаем сумму кубов $5^3 + a^3$.
Применяем формулу, где $a=5$ и $b=a$:
$125 + a^3 = 5^3 + a^3 = (5 + a)(5^2 - 5 \cdot a + a^2) = (5 + a)(25 - 5a + a^2)$.
Ответ: $(5 + a)(25 - 5a + a^2)$.

д) В выражении $y^3 - 1$ представим $1$ как куб: $1 = 1^3$. Получаем разность кубов $y^3 - 1^3$.
Применяем формулу, где $a=y$ и $b=1$:
$y^3 - 1^3 = (y - 1)(y^2 + y \cdot 1 + 1^2) = (y - 1)(y^2 + y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y^2 + y + 1)$.

е) В выражении $1 + b^3$ представим $1$ как куб: $1 = 1^3$. Получаем сумму кубов $1^3 + b^3$.
Применяем формулу, где $a=1$ и $b=b$:
$1^3 + b^3 = (1 + b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = (1 + b)(1 - b + b^2)$.
Ответ: $(1 + b)(1 - b + b^2)$.

923. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

Для решения данной задачи будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

а)

Представим выражение $8x^3 - 1$ в виде разности кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(2x)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2x$ и $b = 1$:

$(2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x) \cdot 1 + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

б)

Представим выражение $1 + 27y^3$ в виде суммы кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $27y^3 = (3y)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $1^3 + (3y)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = 1$ и $b = 3y$:

$1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1^2 - 1 \cdot (3y) + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

Ответ: $(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

в)

Представим выражение $8 - \frac{1}{8}a^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $2^3 - (\frac{1}{2}a)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2$ и $b = \frac{1}{2}a$:

$2^3 - (\frac{1}{2}a)^3 = (2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) + (\frac{1}{2}a)^2) = (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

Ответ: $(2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

г)

Представим выражение $\frac{1}{64}m^3 + 1000$ в виде суммы кубов. Заметим, что $\frac{1}{64}m^3 = (\frac{1}{4}m)^3$ и $1000 = 10^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 10$:

$(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3 = (\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - (\frac{1}{4}m) \cdot 10 + 10^2) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

Ответ: $(\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

д)

Представим выражение $125a^3 - 64b^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $125a^3 = (5a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(5a)^3 - (4b)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 5a$ и $b = 4b$:

$(5a)^3 - (4b)^3 = (5a - 4b)((5a)^2 + (5a)(4b) + (4b)^2) = (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

Ответ: $(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

е)

Представим выражение $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$ в виде суммы кубов. Заметим, что $\frac{1}{27}x^3 = (\frac{1}{3}x)^3$ и $\frac{1}{125}y^3 = (\frac{1}{5}y)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = \frac{1}{5}y$:

$(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - (\frac{1}{3}x)(\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2) = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.

924. Разложите на множители:

а) Для разложения на множители выражения $8 - m^3$ используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $8$ можно представить как $2^3$. Таким образом, $a = 2$ и $b = m$.

Подставим значения в формулу:

$8 - m^3 = 2^3 - m^3 = (2 - m)(2^2 + 2 \cdot m + m^2) = (2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

Ответ: $(2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

б) Для разложения выражения $c^3 + 27$ применяется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Здесь $27$ можно представить как $3^3$. Значит, $a = c$ и $b = 3$.

Подставим значения в формулу:

$c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 - c \cdot 3 + 3^2) = (c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

Ответ: $(c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

в) Выражение $64x^3 + 1$ представляет собой сумму кубов. Представим $64x^3$ как $(4x)^3$ и $1$ как $1^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 4x$ и $b = 1$.

Подставим значения в формулу:

$64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)((4x)^2 - 4x \cdot 1 + 1^2) = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

Ответ: $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

г) Для разложения выражения $1 - \frac{1}{8}p^3$ воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Представим выражение в виде $1^3 - (\frac{1}{2}p)^3$. В этом случае $a = 1$ и $b = \frac{1}{2}p$.

Подставим значения в формулу:

$1 - \frac{1}{8}p^3 = 1^3 - (\frac{1}{2}p)^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + (\frac{1}{2}p)^2) = (1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

Ответ: $(1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

д) Выражение $m^3 - 27n^3$ является разностью кубов. Представим его как $m^3 - (3n)^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = m$ и $b = 3n$.

Подставим значения в формулу:

$m^3 - 27n^3 = m^3 - (3n)^3 = (m - 3n)(m^2 + m \cdot 3n + (3n)^2) = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

Ответ: $(m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

е) Для разложения выражения $\frac{1}{8}a^3 + b^3$ применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$. Здесь $x = \frac{1}{2}a$ и $y = b$.

Подставим значения в формулу:

$\frac{1}{8}a^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.