Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

918. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) Чтобы представить многочлен $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член многочлена $0,25x^2$ можно представить как квадрат выражения $0,5x$, так как $(0,5x)^2 = 0,25x^2$.

Третий член $0,36y^2$ можно представить как квадрат выражения $0,6y$, так как $(0,6y)^2 = 0,36y^2$.

Теперь проверим, равен ли второй член $-0,6xy$ удвоенному произведению $-2ab$, где $a = 0,5x$ и $b = 0,6y$.

$-2 \cdot (0,5x) \cdot (0,6y) = -1x \cdot 0,6y = -0,6xy$.

Поскольку все условия формулы выполняются, многочлен является квадратом разности выражений $0,5x$ и $0,6y$.

$0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2 = (0,5x - 0,6y)^2$.

Ответ: $(0,5x - 0,6y)^2$.

б) В выражении $-a^2 + 0,6a - 0,09$ вынесем за скобки $-1$.

$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a^2 - 0,6a + 0,09)$.

Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Представим $a^2$ как $(a)^2$ и $0,09$ как $(0,3)^2$.

Проверим средний член: $-2 \cdot a \cdot 0,3 = -0,6a$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 0,6a + 0,09 = (a - 0,3)^2$.

Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.

$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a - 0,3)^2$.

Ответ: $-(a - 0,3)^2$.

в) В многочлене $\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Первый член $\frac{9}{16}a^4$ можно представить как квадрат выражения $\frac{3}{4}a^2$, так как $(\frac{3}{4}a^2)^2 = \frac{9}{16}a^4$.

Третий член $\frac{4}{9}a^2$ можно представить как квадрат выражения $\frac{2}{3}a$, так как $(\frac{2}{3}a)^2 = \frac{4}{9}a^2$.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $2xy$, где $x = \frac{3}{4}a^2$ и $y = \frac{2}{3}a$.

$2 \cdot (\frac{3}{4}a^2) \cdot (\frac{2}{3}a) = 2 \cdot \frac{6}{12}a^3 = 2 \cdot \frac{1}{2}a^3 = a^3$.

Средний член совпадает, следовательно, многочлен является квадратом суммы.

$\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2 = (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

Ответ: $(\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

г) В выражении $-16m^2 - 24mn - 9n^2$ вынесем за скобки $-1$.

$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(16m^2 + 24mn + 9n^2)$.

Теперь преобразуем выражение в скобках $16m^2 + 24mn + 9n^2$, используя формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Представим $16m^2$ как $(4m)^2$ и $9n^2$ как $(3n)^2$.

Проверим средний член: $2 \cdot (4m) \cdot (3n) = 24mn$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $16m^2 + 24mn + 9n^2 = (4m + 3n)^2$.

Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.

$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(4m + 3n)^2$.

Ответ: $-(4m + 3n)^2$.

919. Решите уравнение:
а) (5х − 1)(2х + 1) − 10х² = 0,8;
б) 18х² − (9х + 2)(2х − 1) = 1.

а)

Решим уравнение $(5x - 1)(2x + 1) - 10x^2 = 0,8$.

Для начала раскроем скобки, умножив многочлен на многочлен:

$(5x \cdot 2x + 5x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1) - 10x^2 = 0,8$

$(10x^2 + 5x - 2x - 1) - 10x^2 = 0,8$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$10x^2 + 3x - 1 - 10x^2 = 0,8$

Теперь приведем подобные слагаемые во всем выражении. Члены $10x^2$ и $-10x^2$ взаимно уничтожаются:

$3x - 1 = 0,8$

Перенесем свободный член ($-1$) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 0,8 + 1$

$3x = 1,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1,8}{3}$

$x = 0,6$

Ответ: $0,6$.

б)

Решим уравнение $18x^2 - (9x + 2)(2x - 1) = 1$.

Сначала раскроем скобки, в которых находится произведение многочленов:

$(9x + 2)(2x - 1) = 9x \cdot 2x + 9x \cdot (-1) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-1) = 18x^2 - 9x + 4x - 2 = 18x^2 - 5x - 2$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$18x^2 - (18x^2 - 5x - 2) = 1$

Так как перед скобкой стоит знак минус, при ее раскрытии знаки всех членов внутри меняются на противоположные:

$18x^2 - 18x^2 + 5x + 2 = 1$

Приведем подобные слагаемые. Члены $18x^2$ и $-18x^2$ взаимно уничтожаются:

$5x + 2 = 1$

Перенесем свободный член ($2$) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 1 - 2$

$5x = -1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = -\frac{1}{5}$

$x = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

920. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $S$ (в км) – искомое расстояние от начальной точки до железнодорожной станции, а $t$ (в часах) – время, за которое турист должен дойти до станции, чтобы прийти точно к отправлению поезда.

Переведем минуты в часы для удобства расчетов:
30 минут = $30 / 60 = 0.5$ часа.
6 минут = $6 / 60 = 1/10 = 0.1$ часа.

Рассмотрим два случая, описанные в условии задачи.

1. Движение со скоростью 4 км/ч.

Скорость туриста $v_1 = 4$ км/ч.Время, которое он затратит на путь, равно $t_1 = S / v_1 = S / 4$ часа.По условию, при такой скорости он опоздает на 30 минут (0.5 часа). Это означает, что он затратит на путь на 0.5 часа больше, чем время $t$, необходимое для прибытия вовремя.Таким образом, получаем первое уравнение:$t_1 = t + 0.5$$S/4 = t + 0.5$

2. Движение со скоростью 5 км/ч.

Скорость туриста $v_2 = 5$ км/ч.Время, которое он затратит на путь, равно $t_2 = S / v_2 = S / 5$ часа.По условию, при такой скорости он придет на 6 минут (0.1 часа) раньше. Это означает, что он затратит на путь на 0.1 часа меньше, чем время $t$.Таким образом, получаем второе уравнение:$t_2 = t - 0.1$$S/5 = t - 0.1$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $t$:$\begin{cases} S/4 = t + 0.5 \\ S/5 = t - 0.1 \end{cases}$

Самый простой способ решить эту систему — вычесть второе уравнение из первого. Это позволит нам сразу исключить переменную $t$.$(S/4) - (S/5) = (t + 0.5) - (t - 0.1)$

Раскроем скобки в правой части:$S/4 - S/5 = t + 0.5 - t + 0.1$$S/4 - S/5 = 0.6$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.$(5S)/20 - (4S)/20 = 0.6$$(5S - 4S)/20 = 0.6$$S/20 = 0.6$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы найти $S$:$S = 0.6 \cdot 20$$S = 12$

Таким образом, расстояние, которое должен пройти турист, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.