Номер 912, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 912, страница 181.

Условие.

912. Представьте в виде произведения:

а) (2b − 5)² − 36;
б) 9 − (7 + 3а)²;

в) (4 − 11m)² − 1;
г) р² − (2р + 1)²;

д) (5с − 3d)² − 9d²;
е) а⁴ − (9b + а²)².

Решение 1.

а) (2b − 5)² − 36 =
= (2b - 5)² - 6² =
= (2b - 5 - 6) (2b - 5 + 6) =
= (2b - 11) (2b + 1);

б) 9 − (7 + 3а)² = 3² - (7 + 3a)² =
= (3 - (7 + 3a)) (3 + (7 + 3a)) =
= (3 - 7 - 3a) (3 + 7 + 3a) =
= (-4 - 3a) (10 + 3a) =
= -(4 + 3a) (10 + 3a);

в) (4 − 11m)² − 1 =
= (4 - 11m - 1) (4 - 11m + 1) =
= (3 - 11m) (5 - 11m);

г) р² − (2р + 1)² =
= (p - (2p + 1)) (p + (2p + 1)) =
= (p - 2p - 1) (p + 2p + 1) =
= (-p - 1) (3p + 1) =
= -(p + 1) (3p + 1);

д) (5с − 3d)² − 9d² =
= (5c - 3d - 3d) (5c - 3d + 3d) =
= (5c - 6d) ⋅ 5c;

е) а⁴ − (9b + а²)² =
= (a²)² - (9b + a²)² =
= (a² - (9b + a²)) (a² + 9b + a²) =
= (a² - 9b - a²) (2a² + 9b) =
= -9b(2a² + 9b).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $(2b - 5)^2 - 36$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим $36$ как $6^2$. Тогда выражение примет вид $(2b - 5)^2 - 6^2$. В данном случае $A = 2b - 5$ и $B = 6$. Подставляя в формулу, получаем: $((2b - 5) - 6)((2b - 5) + 6)$. Упрощая выражения в скобках, имеем $(2b - 5 - 6)(2b - 5 + 6)$, что равно $(2b - 11)(2b + 1)$.
Ответ: $(2b - 11)(2b + 1)$.

б) Выражение $9 - (7 + 3a)^2$ также раскладывается по формуле разности квадратов. Представим $9$ как $3^2$. Получаем $3^2 - (7 + 3a)^2$. Здесь $A = 3$ и $B = 7 + 3a$. Применяем формулу: $(3 - (7 + 3a))(3 + (7 + 3a))$. Раскрываем внутренние скобки: $(3 - 7 - 3a)(3 + 7 + 3a)$. Упрощаем и получаем: $(-4 - 3a)(10 + 3a)$.
Ответ: $(-4 - 3a)(10 + 3a)$.

в) Для выражения $(4 - 11m)^2 - 1$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим $1$ как $1^2$. Получим $(4 - 11m)^2 - 1^2$. Здесь $A = 4 - 11m$ и $B = 1$. Подставляем в формулу: $((4 - 11m) - 1)((4 - 11m) + 1)$. Упрощаем выражения в скобках: $(4 - 11m - 1)(4 - 11m + 1)$, что равно $(3 - 11m)(5 - 11m)$.
Ответ: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.

г) В выражении $p^2 - (2p + 1)^2$ применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В этом случае $A = p$ и $B = 2p + 1$. Подставляем в формулу: $(p - (2p + 1))(p + (2p + 1))$. Раскрываем внутренние скобки и приводим подобные слагаемые: $(p - 2p - 1)(p + 2p + 1)$. В результате получаем $(-p - 1)(3p + 1)$.
Ответ: $(-p - 1)(3p + 1)$.

д) Чтобы представить выражение $(5c - 3d)^2 - 9d^2$ в виде произведения, сначала заметим, что $9d^2 = (3d)^2$. Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(5c - 3d)^2 - (3d)^2$. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5c - 3d$ и $B = 3d$. Получаем: $((5c - 3d) - 3d)((5c - 3d) + 3d)$. Упрощаем выражения в каждой скобке: $(5c - 3d - 3d)(5c - 3d + 3d) = (5c - 6d)(5c)$. Переставив множители, получим $5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

е) Для разложения выражения $a^4 - (9b + a^2)^2$ представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Выражение принимает вид разности квадратов: $(a^2)^2 - (9b + a^2)^2$. Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a^2$ и $B = 9b + a^2$. Подставляем: $(a^2 - (9b + a^2))(a^2 + (9b + a^2))$. Раскрываем внутренние скобки и упрощаем: $(a^2 - 9b - a^2)(a^2 + 9b + a^2)$. В результате получаем $(-9b)(2a^2 + 9b)$.
Ответ: $-9b(2a^2 + 9b)$.