Номер 905, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 905, страница 180.

Условие.

905. Разложите на множители:

а) х⁴ + 9;
б) 25 − n⁶;
в) m⁸ − а²;

г) y² − p⁴;
д) c⁶ − d⁶;
е) х⁶ − а⁴;

ж) b⁴ + y¹⁰;
з) m⁸ − n⁶;
и) а⁴ + b⁴;

к) c⁸ − d⁸;
л) а⁴ + 16;
м) 81 − b⁴.

Решение 1.

а) х⁴ + 9 = (x²)² - 3² =
= (x² - 3) (x² + 3);

б) 25 − n⁶ = 5² - (n³)² =
= (5 - n³) (5 + n³);

в) m⁸ − а² = (m⁴)² - a² =
= (m⁴ - a) (m⁴ + a);

г) y² − p⁴ = y² - (p²)² =
= (y - p²) (y + p²);

д) c⁶ − d⁶ = (c³)² - (d³)² =
= (c³ - d³) (c³ + d³);

е) х⁶ − а⁴ = (x³)² - (a²)² =
= (x³ - a²) (x³ + a²);

ж) b⁴ + y¹⁰ = (b²)² - (y⁵)² =
= (b² - y⁵) (b² + y⁵);

з) m⁸ − n⁶ = (m⁴)² - (n³)² =
= (m⁴ - n³) (m⁴ + n³);

и) а⁴ + b⁴ = (a²)² - (b²)² =
= (a² - b²) (a² + b²) =
= (a - b) (a + b) (a² + b²);

к) c⁸ − d⁸ = (c⁴)² - (d⁴)² =
= (c⁴ - d⁴) (c⁴ + d⁴) =
= ((c²)² - (d²)² (c⁴ + d⁴) =
= (c² - d²) (c² + d²) (c⁴ + d⁴) =
= (c - d) (c + d) (c² + d²) (c⁴ + d⁴);

л) а⁴ + 16 = (a²)² - 4² =
= (a² - 4) (a² + 4) =
= (a - 2) (a + 2) (a² + 4);

м) 81 − b⁴ = 9² - (b²)² =
= (9 - b²) (9 + b²) =
= (3 - b) (3 + b) (9 + b²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $x^4 - 9$ в виде разности квадратов: $x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2$. Применим формулу, где $a = x^2$ и $b = 3$. В результате получаем $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.
Ответ: $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

б) Представим выражение $25 - n^6$ в виде разности квадратов: $25 - n^6 = 5^2 - (n^3)^2$. Применим формулу, где $a = 5$ и $b = n^3$. В результате получаем $(5 - n^3)(5 + n^3)$.
Ответ: $(5 - n^3)(5 + n^3)$.

в) Представим выражение $m^8 - a^2$ в виде разности квадратов: $m^8 - a^2 = (m^4)^2 - a^2$. Применим формулу, где $a = m^4$ и $b = a$. В результате получаем $(m^4 - a)(m^4 + a)$.
Ответ: $(m^4 - a)(m^4 + a)$.

г) Представим выражение $y^2 - p^4$ в виде разности квадратов: $y^2 - p^4 = y^2 - (p^2)^2$. Применим формулу, где $a = y$ и $b = p^2$. В результате получаем $(y - p^2)(y + p^2)$.
Ответ: $(y - p^2)(y + p^2)$.

д) Выражение $c^6 - d^6$ можно разложить как разность квадратов: $c^6 - d^6 = (c^3)^2 - (d^3)^2 = (c^3 - d^3)(c^3 + d^3)$. Затем, к полученным множителям применим формулы разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Получаем: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)(c + d)(c^2 - cd + d^2)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + cd + d^2)(c^2 - cd + d^2)$.

е) Представим выражение $x^6 - a^4$ в виде разности квадратов: $x^6 - a^4 = (x^3)^2 - (a^2)^2$. Применим формулу, где $a = x^3$ и $b = a^2$. В результате получаем $(x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.
Ответ: $(x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.

ж) Представим выражение $b^4 - y^{10}$ в виде разности квадратов: $b^4 - y^{10} = (b^2)^2 - (y^5)^2$. Применим формулу, где $a = b^2$ и $b = y^5$. В результате получаем $(b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.
Ответ: $(b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.

з) Представим выражение $m^8 - n^6$ в виде разности квадратов: $m^8 - n^6 = (m^4)^2 - (n^3)^2$. Применим формулу, где $a = m^4$ и $b = n^3$. В результате получаем $(m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.
Ответ: $(m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.

и) Применим формулу разности квадратов к выражению $a^4 - b^4$: $(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому разложим его дальше: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Окончательное разложение: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

к) Применим формулу разности квадратов последовательно: $c^8 - d^8 = (c^4)^2 - (d^4)^2 = (c^4 - d^4)(c^4 + d^4)$. Далее разложим $(c^4 - d^4) = (c^2)^2 - (d^2)^2 = (c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$. И наконец, $(c^2 - d^2) = (c - d)(c + d)$. Собрав все множители, получаем: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.

л) Применим формулу разности квадратов к выражению $a^4 - 16$: $(a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$. Множитель $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов $a^2 - 2^2$, поэтому разложим его на $(a - 2)(a + 2)$. Окончательное разложение: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.

м) Применим формулу разности квадратов к выражению $81 - b^4$: $9^2 - (b^2)^2 = (9 - b^2)(9 + b^2)$. Множитель $(9 - b^2)$ является разностью квадратов $3^2 - b^2$, поэтому разложим его на $(3 - b)(3 + b)$. Окончательное разложение: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.
Ответ: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.