Номер 904, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 904, страница 180.

Условие.

904. Найдите значение выражения:

Решение 1.

а) 41² - 31² = (41 - 31) (41 + 31) =
= 10 ⋅ 72 = 720;

б) 76² - 24² =
= (76 - 24) (76 + 24) =
= 52 ⋅ 100 = 5200;

в) 256² - 156² =
= (256 - 156) (256 + 156) =
= 100 ⋅ 412 = 41 200;

г) 0,783² - 0,217² =
= (0,783 - 0,217) (0,783 + 0,217) =
= 0,566 ⋅ 1 = 0,566;

$\mathbf{д}\mathbf{)} \frac{{26}^2-{12}^2}{{54}^2-{16}^2}=\frac{\left(26-12\right) \left(26+12\right)}{\left(54-16\right) \left(54+16\right)}=$

$=\frac{14·38}{38·70}=\frac{14}{70}=\frac{2}{10}=0,2;$

$\mathbf{е}\mathbf{)} \frac{{63}^2-{27}^2}{{83}^2-{79}^2}=\frac{\left(63-27\right) \left(63+27\right)}{\left(83-79\right) \left(83+79\right)}=$

$=\frac{36·90}{4·162}=\frac{2·45}{2·9}=5;$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех представленных выражений используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Эта формула позволяет значительно упростить вычисления, избегая возведения в квадрат больших чисел.

а)

Применим формулу разности квадратов для выражения $41^2 - 31^2$.

Здесь $a=41$ и $b=31$.

$41^2 - 31^2 = (41 - 31)(41 + 31) = 10 \cdot 72 = 720$.

Ответ: $720$.

б)

Используем ту же формулу для выражения $76^2 - 24^2$.

Здесь $a=76$ и $b=24$.

$76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100 = 5200$.

Ответ: $5200$.

в)

Аналогично, для выражения $256^2 - 156^2$.

Здесь $a=256$ и $b=156$.

$256^2 - 156^2 = (256 - 156)(256 + 156) = 100 \cdot 412 = 41200$.

Ответ: $41200$.

г)

Формула разности квадратов также применима и для десятичных дробей. Рассмотрим выражение $0,783^2 - 0,217^2$.

Здесь $a=0,783$ и $b=0,217$.

$0,783^2 - 0,217^2 = (0,783 - 0,217)(0,783 + 0,217) = 0,566 \cdot 1 = 0,566$.

Ответ: $0,566$.

д)

В данном выражении $\frac{26^2-12^2}{54^2-16^2}$ необходимо применить формулу разности квадратов и для числителя, и для знаменателя.

Разложим числитель: $26^2 - 12^2 = (26-12)(26+12) = 14 \cdot 38$.

Разложим знаменатель: $54^2 - 16^2 = (54-16)(54+16) = 38 \cdot 70$.

Теперь подставим полученные произведения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{14 \cdot 38}{38 \cdot 70} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

е)

Для выражения $\frac{63^2-27^2}{83^2-79^2}$ поступим аналогично предыдущему пункту.

Разложим числитель: $63^2 - 27^2 = (63-27)(63+27) = 36 \cdot 90$.

Разложим знаменатель: $83^2 - 79^2 = (83-79)(83+79) = 4 \cdot 162$.

Подставим полученные значения в дробь и выполним вычисления:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{810}{162}$.

Разделив 810 на 162, получаем 5.

$\frac{810}{162} = 5$.

Ответ: $5$.