Номер 878, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 878, страница 176.

Условие.

878. Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

а) (−y + x)(x + y);
б) (−a + b)(b − a);
в) (−b − c)(b − c);

г) (x + y)(−x − y);
д) (x − y)(y − x);
е) (−a − b)(−a − b).

Решение 1.

а) (−y + x)(x + y) =
= (x - y) (x + y) = x² - y²;

б) (−a + b)(b − a) =
= (b - a) (b - a) = (b - a)² =
= b² - 2ab + a²;

в) (−b − c)(b − c) =
= (-(b + c)) (b - c) =
= -(b + c) (b - c) = -(b² - c²) =
= -b² + c² = c² - b²;

г) (x + y)(−x − y) =
= -(x + y) (x + y) = -(x + y)² =
= -(x² + 2xy + y²) =
= -x² - 2xy - y²;

д) (x − y)(y − x) =
= -(x - y) (x - y) = -(x - y)² =
= -(x² - 2xy + y²) = -x² + 2xy - y²;

е) (−a − b)(−a − b) =
= -(a + b) (-(a + b) = (a + b)² =
= a² + 2ab + b².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $(-y + x)(x + y)$ в виде многочлена, поменяем местами слагаемые в первой скобке, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(-y + x) = (x - y)$.

Теперь выражение имеет вид: $(x - y)(x + y)$.

Это формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a = x$ и $b = y$:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

б) Рассмотрим выражение $(-a + b)(b - a)$.

Поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(-a + b) = (b - a)$.

Получим произведение одинаковых выражений: $(b - a)(b - a) = (b - a)^2$.

Это формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применим эту формулу, где $x = b$ и $y = a$:

$(b - a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$.

в) Рассмотрим выражение $(-b - c)(b - c)$.

Вынесем знак минус за скобку в первом множителе: $(-b - c) = -(b + c)$.

Выражение примет вид: $-(b + c)(b - c)$.

Выражение в скобках $(b + c)(b - c)$ является формулой разности квадратов, которая равна $b^2 - c^2$.

$-(b + c)(b - c) = -(b^2 - c^2)$.

Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри: $-b^2 + c^2 = c^2 - b^2$.

Ответ: $c^2 - b^2$.

г) Рассмотрим выражение $(x + y)(-x - y)$.

Вынесем знак минус за скобку во втором множителе: $(-x - y) = -(x + y)$.

Выражение примет вид: $(x + y)(-(x + y)) = -(x + y)(x + y) = -(x + y)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$-(x + y)^2 = -(x^2 + 2xy + y^2)$.

Раскроем скобки: $-x^2 - 2xy - y^2$.

Ответ: $-x^2 - 2xy - y^2$.

д) Рассмотрим выражение $(x - y)(y - x)$.

Вынесем знак минус за скобку во втором множителе: $(y - x) = -(x - y)$.

Выражение примет вид: $(x - y)(-(x - y)) = -(x - y)(x - y) = -(x - y)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$-(x - y)^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$.

Раскроем скобки: $-x^2 + 2xy - y^2$.

Ответ: $-x^2 + 2xy - y^2$.

е) Рассмотрим выражение $(-a - b)(-a - b)$.

Это выражение можно записать в виде квадрата: $(-a - b)^2$.

Вынесем знак минус за скобку внутри выражения: $(-a - b) = -(a + b)$.

Тогда $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа, то $(-(a + b))^2 = (a + b)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$.