Номер 874, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 874, страница 176.

Условие.

874. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:

Решение 1.

а) (2a + b) (2a - b) = 4a² - b²;

б) (4y - 3x) (4y + 3x) =
= 16y² - 9x²;

в) (11a⁵ - b⁴) (b⁴ + 11a⁵) =
= 121a¹⁰ - b⁸;

г) m⁴ - 225c¹⁰ =
= (m² - 15c⁵) (15c⁵ + m²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В данном тождестве $(2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2$ левая часть представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Это соответствует формуле разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае, $x = 2a$ и $y = *$. Применяя формулу, получаем: $(2a + *)(2a - *) = (2a)^2 - (*)^2 = 4a^2 - (*)^2$.

Правая часть тождества равна $4a^2 - b^2$.

Приравнивая выражения, полученные для левой и правой частей, имеем: $4a^2 - (*)^2 = 4a^2 - b^2$.

Отсюда следует, что $(*)^2 = b^2$. Следовательно, одночлен, который нужно вписать вместо знака *, это $b$.

Ответ: $b$

б) Рассмотрим тождество $(* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2$. Левая часть также является произведением разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = *$ и $y = 3x$. Раскрывая скобки по формуле, получаем: $(* - 3x)(* + 3x) = (*)^2 - (3x)^2 = (*)^2 - 9x^2$.

Правая часть тождества равна $16y^2 - 9x^2$.

Сравнивая левую и правую части, получаем: $(*)^2 - 9x^2 = 16y^2 - 9x^2$.

Из этого равенства следует, что $(*)^2 = 16y^2$. Извлекая квадратный корень, находим искомый одночлен: $* = \sqrt{16y^2} = 4y$.

Ответ: $4y$

в) В тождестве $(* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8$ преобразуем левую часть для удобства. Используя переместительное свойство сложения, запишем второй множитель как $(* + b^4)$. Получим выражение $(* - b^4)(* + b^4)$, которое является разностью квадратов.

Применяем формулу $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=*$ и $y=b^4$: $(* - b^4)(* + b^4) = (*)^2 - (b^4)^2 = (*)^2 - b^8$.

Правая часть тождества равна $121a^{10} - b^8$.

Приравнивая обе части, имеем: $(*)^2 - b^8 = 121a^{10} - b^8$.

Отсюда $(*)^2 = 121a^{10}$. Чтобы найти *, извлечем квадратный корень: $* = \sqrt{121a^{10}} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{a^{10}} = 11a^5$.

Ответ: $11a^5$

г) В тождестве $m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2)$ необходимо разложить на множители левую часть, которая представляет собой разность квадратов.

Представим левую часть в виде $a^2 - b^2$: $m^4 - 225c^{10} = (m^2)^2 - (15c^5)^2$.

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим: $(m^2)^2 - (15c^5)^2 = (m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5)$.

Правая часть исходного тождества: $(m^2 - *)(* + m^2)$. Заметим, что из-за коммутативности сложения $(* + m^2) = (m^2 + *)$. Тогда правая часть имеет вид $(m^2 - *)(m^2 + *)$.

Сравнивая полученное разложение левой части $(m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5)$ с выражением для правой части $(m^2 - *)(m^2 + *)$, заключаем, что искомый одночлен * равен $15c^5$.

Ответ: $15c^5$