Номер 876, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 876, страница 176.

Условие.

876. Найдите значение выражения:

а) (100 − 1)(100 + 1);
б) (80 + 3)(80 − 3);
в) 64 · 56;
г) 201 · 199;

д) 74 · 66;
е) 1002 · 998;
ж) 1,05 · 0,95;
з) 60,1 · 59,9.

Решение 1.

а) (100 − 1)(100 + 1) =
= 100² - 1² = 10 000 - 1 = 9 999;

б) (80 + 3)(80 − 3) =
= 80² - 3² = 6400 - 9 = 6391;

в) 64 · 56 = (60 + 4) (60 - 4) =
= 60² - 4² = 3600 - 16 = 3584;

г) 201 · 199 =
= (200 + 1) (200 - 1) = 200² - 1² =
= 40 000 - 1 = 39 999;

д) 74 · 66 = (70 + 4) (70 - 4) =
= 70² - 4² = 4900 - 16 = 4884;

е) 1002 · 998 =
= (1000 + 2) (1000 - 2) =
= 1000² - 2² = 1 000 000 - 4 =
= 999 996;

ж) 1,05 · 0,95 =
= (1 + 0,05) (1 - 0,05) =
= 1² - (0,05)² = 1 - 0,0025 =
= 0,9975;

з) 60,1 · 59,9 =
= (60 + 0,1) (60 - 0,1) =
= 60² - 0,1² = 3600 - 0,01 =
= 3599,99.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) В выражении $(100 - 1)(100 + 1)$ уже видна структура формулы разности квадратов, где $a = 100$ и $b = 1$.

$(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.

Ответ: $9999$.

б) Выражение $(80 + 3)(80 - 3)$ также является прямой иллюстрацией формулы разности квадратов. Здесь $a = 80$ и $b = 3$.

$(80 + 3)(80 - 3) = 80^2 - 3^2 = 6400 - 9 = 6391$.

Ответ: $6391$.

в) Чтобы вычислить произведение $64 \cdot 56$, представим каждый множитель через их среднее арифметическое. Среднее арифметическое чисел $64$ и $56$ равно $(64 + 56) / 2 = 120 / 2 = 60$. Тогда $64 = 60 + 4$ и $56 = 60 - 4$.

$64 \cdot 56 = (60 + 4)(60 - 4) = 60^2 - 4^2 = 3600 - 16 = 3584$.

Ответ: $3584$.

г) Для произведения $201 \cdot 199$ представим множители в виде суммы и разности. Среднее арифметическое: $(201 + 199) / 2 = 400 / 2 = 200$. Тогда $201 = 200 + 1$ и $199 = 200 - 1$.

$201 \cdot 199 = (200 + 1)(200 - 1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$.

Ответ: $39999$.

д) Для вычисления $74 \cdot 66$ найдем среднее арифметическое: $(74 + 66) / 2 = 140 / 2 = 70$. Таким образом, $74 = 70 + 4$ и $66 = 70 - 4$.

$74 \cdot 66 = (70 + 4)(70 - 4) = 70^2 - 4^2 = 4900 - 16 = 4884$.

Ответ: $4884$.

е) Для произведения $1002 \cdot 998$ среднее арифметическое равно $(1002 + 998) / 2 = 2000 / 2 = 1000$. Значит, $1002 = 1000 + 2$ и $998 = 1000 - 2$.

$1002 \cdot 998 = (1000 + 2)(1000 - 2) = 1000^2 - 2^2 = 1000000 - 4 = 999996$.

Ответ: $999996$.

ж) Этот же метод применим и к десятичным дробям. Для $1,05 \cdot 0,95$ среднее арифметическое равно $(1,05 + 0,95) / 2 = 2 / 2 = 1$. Тогда $1,05 = 1 + 0,05$ и $0,95 = 1 - 0,05$.

$1,05 \cdot 0,95 = (1 + 0,05)(1 - 0,05) = 1^2 - 0,05^2 = 1 - 0,0025 = 0,9975$.

Ответ: $0,9975$.

з) Для произведения $60,1 \cdot 59,9$ среднее арифметическое равно $(60,1 + 59,9) / 2 = 120 / 2 = 60$. Таким образом, $60,1 = 60 + 0,1$ и $59,9 = 60 - 0,1$.

$60,1 \cdot 59,9 = (60 + 0,1)(60 - 0,1) = 60^2 - 0,1^2 = 3600 - 0,01 = 3599,99$.

Ответ: $3599,99$.