Номер 875, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 875, страница 176.

Условие.

875. Представьте в виде многочлена:

Решение 1.

а) (3x² - 1) (3x² + 1) =
= (3x²)² - 1² = 9x⁴ - 1;

б) (5a - b³) (b³ + 5a) =
= (5a)² - (b³)² = 25a² - b⁶;

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left(\frac{3}{7}{\mathrm{m}}^3+\frac{1}{4}{\mathrm{n}}^3\right) \left(\frac{3}{7}{\mathrm{m}}^3-\frac{1}{4}{\mathrm{n}}^3\right)=$

$={\left(\frac{3}{7}{\mathrm{m}}^3\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}{\mathrm{n}}^3\right)}^2=\frac{9}{49}{\mathrm{m}}^6-\frac{1}{16}{\mathrm{n}}^6;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left(\frac{1}{15}-\frac{1}{8}{\mathrm{p}}^6\right) \left(\frac{1}{8}{\mathrm{p}}^6+\frac{1}{15}\right)=$

$={\left(\frac{1}{15}\right)}^2-{\left(\frac{1}{8}{\mathrm{p}}^6\right)}^2=\frac{1}{225}-\frac{1}{64}{\mathrm{p}}^{12};$

д) (0,4y³ + 5a²) (5a² - 0,4y³) =
= (5a²)² - (0,4y³)² = 25a⁴ - 0,16y⁶;

е) (1,2c² - 7a²) (1,2c² + 7a²) =
= (1,2c²)² - (7a²)² = 1,44c⁴ - 49a⁴;

$\mathbf{ж}\mathbf{)} \left(\frac{5}{8}\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^5\right) \left({\mathrm{y}}^5-\frac{5}{8}\mathrm{x}\right)=$

$={\left({\mathrm{y}}^5\right)}^2-{\left(\frac{5}{8}\mathrm{x}\right)}^2={\mathrm{y}}^{10}-\frac{25}{64}{\mathrm{x}}^2;$

$\mathbf{з}\mathbf{)} \left(\frac{1}{7}{\mathrm{p}}^5-0,01\right) \left(0,01+\frac{1}{7}{\mathrm{p}}^5\right)=$

$={\left(\frac{1}{7}{\mathrm{p}}^5\right)}^2-{\left(0,01\right)}^2=\frac{1}{49}{\mathrm{p}}^{10}-0,0001.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а)

В выражении $(3x^2 - 1)(3x^2 + 1)$ используем формулу разности квадратов, где $a = 3x^2$ и $b = 1$.

$(3x^2 - 1)(3x^2 + 1) = (3x^2)^2 - 1^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 - 1 = 9x^4 - 1$.

Ответ: $9x^4 - 1$.

б)

В выражении $(5a - b^3)(b^3 + 5a)$ сначала поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду: $(5a - b^3)(5a + b^3)$.

Теперь применяем формулу разности квадратов, где $a = 5a$ и $b = b^3$.

$(5a - b^3)(5a + b^3) = (5a)^2 - (b^3)^2 = 25a^2 - b^6$.

Ответ: $25a^2 - b^6$.

в)

В выражении $(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3)$ используем формулу разности квадратов, где $a = \frac{3}{7}m^3$ и $b = \frac{1}{4}n^3$.

$(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3) = (\frac{3}{7}m^3)^2 - (\frac{1}{4}n^3)^2 = \frac{3^2}{7^2}(m^3)^2 - \frac{1^2}{4^2}(n^3)^2 = \frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.

Ответ: $\frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.

г)

В выражении $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15})$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{15} + \frac{1}{8}p^6)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = \frac{1}{15}$ и $b = \frac{1}{8}p^6$.

$(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{15} + \frac{1}{8}p^6) = (\frac{1}{15})^2 - (\frac{1}{8}p^6)^2 = \frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.

Ответ: $\frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.

д)

В выражении $(0,4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0,4y^3)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(5a^2 + 0,4y^3)(5a^2 - 0,4y^3)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = 5a^2$ и $b = 0,4y^3$.

$(5a^2 + 0,4y^3)(5a^2 - 0,4y^3) = (5a^2)^2 - (0,4y^3)^2 = 25a^4 - 0,16y^6$.

Ответ: $25a^4 - 0,16y^6$.

е)

В выражении $(1,2c^2 - 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2)$ используем формулу разности квадратов, где $a = 1,2c^2$ и $b = 7a^2$.

$(1,2c^2 - 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2) = (1,2c^2)^2 - (7a^2)^2 = 1,44c^4 - 49a^4$.

Ответ: $1,44c^4 - 49a^4$.

ж)

В выражении $(\frac{5}{8}x + y^5)(y^5 - \frac{5}{8}x)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(y^5 + \frac{5}{8}x)(y^5 - \frac{5}{8}x)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = y^5$ и $b = \frac{5}{8}x$.

$(y^5 + \frac{5}{8}x)(y^5 - \frac{5}{8}x) = (y^5)^2 - (\frac{5}{8}x)^2 = y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.

Ответ: $y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.

з)

В выражении $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(0,01 + \frac{1}{7}p^5)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(\frac{1}{7}p^5 + 0,01)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $a = \frac{1}{7}p^5$ и $b = 0,01$.

$(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(\frac{1}{7}p^5 + 0,01) = (\frac{1}{7}p^5)^2 - (0,01)^2 = \frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.

Ответ: $\frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.