Номер 872, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 872, страница 175.

Условие.

872. С помощью рисунка 87 разъясните геометрический смысл формулы (а − b)(а + b) = а² − b² для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

Решение 1.

С помощью формулы (a - b) (a + b) = a² - b², a > 0, b > 0, a > b вычисляют площадь прямоугольника со сторонами a - b и a + b.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ можно наглядно продемонстрировать с помощью площадей фигур, изображенных на рисунке.

1. Сначала рассмотрим левую часть формулы: $a^2 - b^2$.

На рисунке показан большой квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_{1} = a^2$. Из левого нижнего угла этого квадрата вырезан меньший квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_{2} = b^2$. Когда мы вычитаем площадь меньшего квадрата из площади большего, мы получаем площадь оставшейся L-образной фигуры (которую также называют гномоном). Таким образом, площадь этой фигуры в точности равна $a^2 - b^2$.

2. Теперь рассмотрим правую часть формулы: $(a-b)(a+b)$.

Мы можем показать, что L-образную фигуру с площадью $a^2 - b^2$ можно преобразовать в прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. Для этого мысленно разрежем L-образную фигуру на два прямоугольника. Проведем вертикальную линию вверх от правого верхнего угла вырезанного квадрата до верхней стороны большого квадрата.

В результате мы получим два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 (справа): его высота равна $a$, а ширина равна $(a-b)$.
• Прямоугольник 2 (сверху): его высота равна $(a-b)$, а ширина равна $b$.

Теперь выполним перестановку. Возьмем Прямоугольник 2 (размером $b$ на $(a-b)$) и приставим его сверху к Прямоугольнику 1 (размером $a$ на $(a-b)$). Мы не можем их состыковать, так как стороны не совпадают. Давайте разрежем фигуру по-другому.

Проведем горизонтальный разрез от правого верхнего угла вырезанного квадрата до правой стороны большого квадрата. Мы получим:

• Верхний прямоугольник с размерами $a$ на $(a-b)$.
• Боковой прямоугольник (справа от вырезанного квадрата) с размерами $(a-b)$ на $b$.

Теперь возьмем боковой прямоугольник (размером $(a-b)$ на $b$) и приставим его к верхнему прямоугольнику (размером $a$ на $(a-b)$) сбоку. Сторона верхнего прямоугольника длиной $a$ может быть представлена как $b + (a-b)$. Мы можем совместить сторону бокового прямоугольника длиной $b$ с частью стороны $a$ верхнего прямоугольника.

В результате такой перестановки мы получим новый, единый прямоугольник. Найдем его размеры:

• Одна сторона нового прямоугольника будет равна $(a-b)$ (это высота обоих исходных частей).
• Другая сторона будет равна сумме длин $a$ и $b$, то есть $(a+b)$.

Площадь этого нового прямоугольника равна произведению его сторон: $(a-b)(a+b)$.

Поскольку мы получили этот прямоугольник путем перестановки частей исходной L-образной фигуры, их площади равны. Таким образом, мы геометрически показали, что $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Ответ: Геометрический смысл формулы заключается в том, что площадь фигуры, полученной после вырезания из квадрата со стороной $a$ квадрата со стороной $b$ (то есть $a^2 - b^2$), равна площади прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. Это доказывается путем разрезания L-образной фигуры на две части и их перестановки в новый прямоугольник.