Номер 879, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 879, страница 176.

Условие.

879. Представьте в виде многочлена:

а) (−3хy + а)(3хy + а);
б) (−1 − 2а²b)(1 − 2а²b);
в) (12а³ − 7х)(−12а³ − 7х);

г) (−10р⁴ + 9)(9 − 10р⁴);
д) (0,2х + 10у)(10у − 0,2х);
е) (1,1y − 0,3)(0,3 + 1,1y).

Решение 1.

а) (−3хy + а)(3хy + а) =
= (a - 3xy) (a + 3xy) =
= a² - (3xy)² = a² - 9x²y²;

б) (−1 − 2а²b)(1 − 2а²b) =
= -(1 + 2a²b) (1 - 2a²b) =
= -(1² - (2a²b)²) =
= -(1 - 4a⁴b²) = -1 + 4a⁴b² =
= 4a⁴b² - 1;

в) (12а³ − 7х)(−12а³ − 7х) =
= -(12a³ - 7x) (12a³ + 7x) =
= -((12a³)² - (7x)²) =
= -(144a⁶ - 49x²) =
= -144a⁶ + 49x² = 49x² - 144a⁶;

г) (−10р⁴ + 9)(9 − 10р⁴) =
= (9 - 10p⁴) (9 - 10p⁴) =
= (9 - 10p⁴)² =
= 9² - 2 ⋅ 9 ⋅ 10p⁴ + (10p⁴)² =
= 81 - 180p⁴ + 100p⁸;

д) (0,2х + 10у)(10у − 0,2х) =
= (10y + 0,2x) (10y - 0,2x) =
= (10y)² - (0,2x)² = 100y² - 0,04x²;

е) (1,1y − 0,3)(0,3 + 1,1y) =
= (1,1y - 0,3) (1,1y + 0,3) =
= (1,1y)² - 0,3² = 1,21y² - 0,09.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $(-3xy + a)(3xy + a)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$.

Для этого сначала поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы выражение соответствовало формуле: $(a - 3xy)(a + 3xy)$.

В данном случае $m=a$ и $n=3xy$. Применяя формулу, получаем:

$(a - 3xy)(a + 3xy) = a^2 - (3xy)^2 = a^2 - 9x^2y^2$.

Ответ: $a^2 - 9x^2y^2$.

б) В выражении $(-1 - 2a^2b)(1 - 2a^2b)$ вынесем знак минус из первой скобки: $-(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b)$.

Теперь выражение в скобках $(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b)$ соответствует формуле разности квадратов $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, где $m=1$ и $n=2a^2b$.

Выполним преобразование:

$-( (1)^2 - (2a^2b)^2 ) = -(1 - 4a^4b^2) = -1 + 4a^4b^2 = 4a^4b^2 - 1$.

Ответ: $4a^4b^2 - 1$.

в) В выражении $(12a^3 - 7x)(-12a^3 - 7x)$ вынесем знак минус из второй скобки: $(12a^3 - 7x) \cdot (-(12a^3 + 7x))$.

Получим выражение $-(12a^3 - 7x)(12a^3 + 7x)$. Часть в скобках соответствует формуле разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$, где $m=12a^3$ и $n=7x$.

Применим формулу:

$-( (12a^3)^2 - (7x)^2 ) = -(144a^6 - 49x^2) = -144a^6 + 49x^2 = 49x^2 - 144a^6$.

Ответ: $49x^2 - 144a^6$.

г) В выражении $(-10p^4 + 9)(9 - 10p^4)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(9 - 10p^4)(9 - 10p^4)$.

Мы получили квадрат разности: $(9 - 10p^4)^2$. Воспользуемся формулой квадрата разности $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$, где $m=9$ и $n=10p^4$.

Раскроем скобки:

$(9)^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10p^4 + (10p^4)^2 = 81 - 180p^4 + 100p^8$.

Запишем многочлен в стандартном виде:

$100p^8 - 180p^4 + 81$.

Ответ: $100p^8 - 180p^4 + 81$.

д) В выражении $(0,2x + 10y)(10y - 0,2x)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(10y + 0,2x)(10y - 0,2x)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, где $m=10y$ и $n=0,2x$.

Применим формулу:

$(10y)^2 - (0,2x)^2 = 100y^2 - 0,04x^2$.

Ответ: $100y^2 - 0,04x^2$.

е) В выражении $(1,1y - 0,3)(0,3 + 1,1y)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(1,1y - 0,3)(1,1y + 0,3)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$, где $m=1,1y$ и $n=0,3$.

Применим формулу:

$(1,1y)^2 - (0,3)^2 = 1,21y^2 - 0,09$.

Ответ: $1,21y^2 - 0,09$.