Номер 882, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 34. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 882, страница 177.

Условие.

882. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

а) (5а − 0,2)(0,2 + 5а);
б) (12 − 7y)(7y + 12);

в) (13а − 0,3)(0,3 + 13а);
г) (10 − 9m)(9m + 10).

Решение 1.

а) (5а − 0,2)(0,2 + 5а) =
= (5a - 0,2) (5a + 0,2) =
= (5a)² - 0,2² = 25a² - 0,04;
0,04 – наименьшее значение выражения;

б) (12 − 7y)(7y + 12) =
= (12 - 7y) (12 + 7y) =
= 12² - (7y)² = 144 - 49y²;
144 – наибольшее значение выражения;

в) (13а − 0,3)(0,3 + 13а) =
= (13a - 0,3) (13a + 0,3) =
= (13a)² - 0,3² = 169a² - 0,09;
0,09 – наименьшее значение выражения;

г) (10 − 9m)(9m + 10) =
= (10 - 9m) (10 + 9m) =
= 10² - (9m)² = 100 - 81m²;
100 – наибольшее значение выражения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$, сначала упростим его. Заметим, что это произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Переставим слагаемые во второй скобке: $(5a - 0,2)(5a + 0,2)$.
Теперь применим формулу: $(5a)^2 - (0,2)^2 = 25a^2 - 0,04$.
Проанализируем полученное выражение $25a^2 - 0,04$.
Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, $a^2 \ge 0$. Следовательно, и $25a^2 \ge 0$.
Выражение $25a^2 - 0,04$ принимает наименьшее значение, когда слагаемое $25a^2$ имеет наименьшее возможное значение, то есть 0. Это происходит при $a=0$.
Таким образом, наименьшее значение выражения равно $25 \cdot 0^2 - 0,04 = -0,04$.
Наибольшего значения не существует, поскольку $a^2$ может быть сколь угодно большим, а значит, и всё выражение может неограниченно возрастать.
Ответ: наименьшее значение равно $-0,04$.

б) Упростим выражение $(12 - 7y)(7y + 12)$. Здесь также применима формула разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы это стало очевиднее: $(12 - 7y)(12 + 7y)$.
Применяем формулу: $12^2 - (7y)^2 = 144 - 49y^2$.
Проанализируем полученное выражение $144 - 49y^2$.
Поскольку $y^2 \ge 0$, то и $49y^2 \ge 0$. Это означает, что из 144 вычитается неотрицательное число.
Выражение $144 - 49y^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $49y^2$ является наименьшим, то есть 0. Это условие выполняется при $y=0$.
Таким образом, наибольшее значение выражения равно $144 - 49 \cdot 0^2 = 144$.
Наименьшего значения не существует, так как $49y^2$ может быть сколь угодно большим, и, следовательно, значение выражения может быть сколь угодно малым (большим по модулю отрицательным числом).
Ответ: наибольшее значение равно $144$.

в) Упростим выражение $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$ по формуле разности квадратов. Перепишем выражение в удобном виде: $(13a - 0,3)(13a + 0,3)$.
Применим формулу: $(13a)^2 - (0,3)^2 = 169a^2 - 0,09$.
Проанализируем выражение $169a^2 - 0,09$.
Так как $a^2 \ge 0$, то $169a^2 \ge 0$.
Выражение достигает своего наименьшего значения, когда $169a^2$ равно своему наименьшему значению, то есть 0. Это происходит при $a=0$.
Наименьшее значение выражения равно $169 \cdot 0^2 - 0,09 = -0,09$.
Наибольшего значения не существует, так как $169a^2$ может неограниченно возрастать.
Ответ: наименьшее значение равно $-0,09$.

г) Упростим выражение $(10 - 9m)(9m + 10)$ по формуле разности квадратов. Перепишем выражение так: $(10 - 9m)(10 + 9m)$.
Применим формулу: $10^2 - (9m)^2 = 100 - 81m^2$.
Проанализируем выражение $100 - 81m^2$.
Так как $m^2 \ge 0$, то $81m^2 \ge 0$.
Выражение $100 - 81m^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $81m^2$ имеет наименьшее значение, то есть 0. Это происходит при $m=0$.
Наибольшее значение выражения равно $100 - 81 \cdot 0^2 = 100$.
Наименьшего значения не существует, так как $81m^2$ может неограниченно возрастать, делая значение всего выражения неограниченно малым.
Ответ: наибольшее значение равно $100$.