Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

964. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена 3,5х³ − 2,1х² + 1,9х − 16,7 при х = 3,7.
1) Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4 на с. 189, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.
2) Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
3) Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

1) Для нахождения значения многочлена $P(x) = 3.5x^3 - 2.1x^2 + 1.9x - 16.7$ при $x = 3.7$ выполним вычисления двумя предложенными способами.

Подход первого ученика (почленное вычисление):
Сначала вычисляется значение каждого члена многочлена, а затем находится их сумма.
1. Вычисление первого члена: $3.5x^3 = 3.5 \cdot (3.7)^3 = 3.5 \cdot 50.653 = 177.2855$.
2. Вычисление второго члена: $-2.1x^2 = -2.1 \cdot (3.7)^2 = -2.1 \cdot 13.69 = -28.749$.
3. Вычисление третьего члена: $1.9x = 1.9 \cdot 3.7 = 7.03$.
4. Сложение всех членов: $177.2855 - 28.749 + 7.03 - 16.7 = 138.8665$.

Подход второго ученика (преобразование многочлена по схеме Горнера):
Сначала многочлен преобразуется путем последовательного вынесения переменной $x$ за скобки:
$3.5x^3 - 2.1x^2 + 1.9x - 16.7 = ((3.5x - 2.1)x + 1.9)x - 16.7$.
Затем вычисления производятся в виде непрерывной цепочки действий при $x=3.7$:
1. $3.5 \cdot 3.7 - 2.1 = 12.95 - 2.1 = 10.85$.
2. Полученный результат умножается на $x$ и прибавляется следующий коэффициент: $10.85 \cdot 3.7 + 1.9 = 40.145 + 1.9 = 42.045$.
3. Повторяется операция с последним членом: $42.045 \cdot 3.7 - 16.7 = 155.5665 - 16.7 = 138.8665$.

Ответ: В обоих случаях получен результат $138.8665$.

2) Затраты времени на выполнение задания в каждом случае будут разными. Первый способ требует большего количества операций (6 умножений и 3 сложения/вычитания), а также необходимости записывать или хранить в памяти калькулятора несколько промежуточных результатов. Второй способ (схема Горнера) более эффективен, так как требует всего 3 умножения и 3 сложения/вычитания. Вычисления выполняются в виде непрерывной последовательности, что идеально подходит для калькулятора и экономит время.
Ответ: Второй способ (с преобразованием многочлена) требует меньше времени.

3) При сравнении двух подходов можно сделать следующие выводы.
Результаты: Полученные числовые значения полностью совпадают ($138.8665$), что говорит о математической корректности обоих методов.
Время и эффективность: Второй способ, основанный на схеме Горнера, является значительно более быстрым и удобным для вычислений на калькуляторе. Он оптимизирует процесс, сокращая количество операций (особенно умножений) и вероятность совершения ошибки из-за необходимости запоминать промежуточные результаты.
Ответ: Результаты вычислений идентичны, но второй способ значительно быстрее и эффективнее первого.

965. Решите уравнение:

а) Решим уравнение $x^3 - x = 0$.
Для начала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$
Решим второе уравнение. Это разность квадратов:
$x^2 = 1$
$x = \sqrt{1}$ или $x = -\sqrt{1}$
$x = 1$ или $x = -1$.
Собирая все корни, получаем три решения.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) Решим уравнение $9x - x^3 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $9 - x^2 = 0$
Решим второе уравнение, которое является разностью квадратов:
$x^2 = 9$
$x = \sqrt{9}$ или $x = -\sqrt{9}$
$x = 3$ или $x = -3$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 3$.

в) Решим уравнение $x^3 + x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

г) Решим уравнение $5x^4 - 20x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:
$5x^2(x^2 - 4) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $5x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x^2 - 4 = 0$
Решим второе уравнение, используя формулу разности квадратов:
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$
$x = 2$ или $x = -2$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

966. Решите уравнение:
а) х³ + х = 0; б) х³ − 2х² = = 0.

а) Решим уравнение $x^3 + x = 0$.
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:
1) $x = 0$
2) $x^2 + 1 = 0$
Первое уравнение дает нам корень $x_1 = 0$.
Решим второе уравнение: $x^2 = -1$.
В множестве действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.
Ответ: $0$.

б) Решим уравнение $x^3 - 2x^2 = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:
$x^2(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x^2 = 0$
2) $x - 2 = 0$
Из первого уравнения находим корень $x_1 = 0$.
Из второго уравнения находим корень $x_2 = 2$.
Таким образом, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: $0; 2$.

967. Докажите, что значения многочлена х³ − х при целых значениях х кратны числу 6.

Для того чтобы доказать, что значение многочлена $x^3 - x$ кратно 6 при любом целом значении $x$, преобразуем данный многочлен, разложив его на множители.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки, а затем воспользуемся формулой разности квадратов:$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

Переставив множители для удобства, получим выражение $(x-1)x(x+1)$. Это произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно, поскольку $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Докажем делимость произведения на 2. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении есть три последовательных числа, значит, как минимум одно из них четное, то есть делится на 2. Следовательно, все произведение делится на 2.

Докажем делимость произведения на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Рассмотрим возможные остатки от деления целого числа $x$ на 3:
1. Если $x$ делится на 3, то множитель $x$ в произведении кратен 3.
2. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 1, то множитель $(x-1)$ будет делиться на 3.
3. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 2, то множитель $(x+1)$ будет делиться на 3.
Таким образом, в произведении $(x-1)x(x+1)$ всегда есть множитель, кратный 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $(x-1)x(x+1)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Таким образом, мы доказали, что значение многочлена $x^3-x$ всегда кратно 6 при целых значениях $x$.

Ответ: Утверждение доказано, так как многочлен $x^3-x$ можно представить в виде произведения трех последовательных целых чисел $(x-1)x(x+1)$, которое всегда делится на 2 и на 3, а следовательно, и на 6.

968. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Чтобы доказать это утверждение, давайте определим два последовательных нечётных числа в общем алгебраическом виде.

Любое нечётное число может быть представлено формулой $2k+1$, где $k$ — это любое целое число.

Пусть первое (меньшее) нечётное число равно $2k+1$.

Тогда следующее за ним (большее) нечётное число будет на 2 больше, то есть его можно записать как $(2k+1) + 2 = 2k+3$.

Теперь нам нужно найти разность их квадратов. По определению, это квадрат большего числа минус квадрат меньшего числа:
$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$

Для упрощения этого выражения мы можем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае, $a = 2k+3$ и $b = 2k+1$.

Применим формулу к нашему выражению:
$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1)) \cdot ((2k+3) + (2k+1))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:
1. Первая скобка (разность): $(2k+3) - (2k+1) = 2k+3-2k-1 = 2$.
2. Вторая скобка (сумма): $(2k+3) + (2k+1) = 4k+4$.

Подставим упрощённые значения обратно в произведение:
$2 \cdot (4k+4)$

Во втором множителе можно вынести за скобку общий множитель 4:
$2 \cdot 4(k+1) = 8(k+1)$

Итак, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел равна $8(k+1)$.

Поскольку $k$ по нашему определению является целым числом, то и сумма $k+1$ также является целым числом. Произведение числа 8 на любое целое число всегда делится на 8 нацело.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел $(2k+3)$ и $(2k+1)$ равна $(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = 8(k+1)$. Поскольку $k$ является целым числом, выражение $8(k+1)$ всегда кратно 8, что и требовалось доказать.

969. Если сторону квадрата увеличить на 4 см, то его площадь увеличится на 96 см². Найдите сторону исходного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$ см. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a^2$.

После увеличения стороны на 4 см, новая сторона квадрата стала равна $(a + 4)$ см. Площадь нового квадрата $S_2$ соответственно равна $(a + 4)^2$.

По условию задачи, площадь нового квадрата на 96 см? больше площади исходного. Это можно записать в виде уравнения:

$S_2 = S_1 + 96$

Подставим в это уравнение выражения для площадей:

$(a + 4)^2 = a^2 + 96$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 96$

$a^2 + 8a + 16 = a^2 + 96$

Теперь решим полученное уравнение. Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$8a + 16 = 96$

Перенесем число 16 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$8a = 96 - 16$

$8a = 80$

Найдем $a$, разделив обе части на 8:

$a = \frac{80}{8}$

$a = 10$

Следовательно, сторона исходного квадрата равна 10 см.

Ответ: 10 см.

970. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:
а) (6х − 1)(6х + 1) − (12х − 5)(3х + 1) при х = 0,2;
б) (5 + 2х)² − 2,5х(8х + 7) при х = −0,5.

а)

Сначала упростим данное выражение $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)$.

1. Первую часть выражения, $(6x - 1)(6x + 1)$, можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(6x - 1)(6x + 1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1$

2. Вторую часть выражения, $(12x - 5)(3x + 1)$, раскроем путем перемножения скобок:

$(12x - 5)(3x + 1) = 12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 1 = 36x^2 + 12x - 15x - 5 = 36x^2 - 3x - 5$

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(36x^2 - 1) - (36x^2 - 3x - 5)$

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$36x^2 - 1 - 36x^2 + 3x + 5$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + 3x + (-1 + 5) = 0 + 3x + 4 = 3x + 4$

Теперь, когда выражение упрощено до $3x + 4$, найдем его значение при $x = 0,2$:

$3 \cdot 0,2 + 4 = 0,6 + 4 = 4,6$

Ответ: 4,6

б)

Сначала упростим данное выражение $(5 + 2x)^2 - 2,5x(8x + 7)$.

1. Первую часть выражения, $(5 + 2x)^2$, раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(5 + 2x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 + 20x + 4x^2$

2. Вторую часть выражения, $-2,5x(8x + 7)$, раскроем, умножив $-2,5x$ на каждый член в скобках:

$-2,5x(8x + 7) = -2,5x \cdot 8x - 2,5x \cdot 7 = -20x^2 - 17,5x$

3. Теперь объединим обе части:

$(25 + 20x + 4x^2) + (-20x^2 - 17,5x) = 25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17,5x$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 20x^2) + (20x - 17,5x) + 25 = -16x^2 + 2,5x + 25$

Теперь, когда выражение упрощено до $-16x^2 + 2,5x + 25$, найдем его значение при $x = -0,5$:

$-16(-0,5)^2 + 2,5(-0,5) + 25 = -16(0,25) - 1,25 + 25 = -4 - 1,25 + 25 = 19,75$

Ответ: 19,75

971. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, не выполняя построения, нужно поочередно приравнять к нулю каждую из координат.
- Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно принять $x=0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
- Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно принять $y=0$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этой точки будут $(x; 0)$.

а) Для функции $y = 0,24x + 6$:
1. Найдем точку пересечения с осью Oy (осью ординат). Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = 0,24 \cdot 0 + 6 = 6$.
Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 6)$.
2. Найдем точку пересечения с осью Ox (осью абсцисс). Для этого подставим $y=0$ в уравнение функции:
$0 = 0,24x + 6$
$0,24x = -6$
$x = \frac{-6}{0,24} = \frac{-600}{24} = -25$.
Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-25; 0)$.
Ответ: с осью Oy: $(0; 6)$, с осью Ox: $(-25; 0)$.

б) Для функции $y = -5x - 1,8$:
1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -5 \cdot 0 - 1,8 = -1,8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1,8)$.
2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -5x - 1,8$
$5x = -1,8$
$x = \frac{-1,8}{5} = -0,36$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-0,36; 0)$.
Ответ: с осью Oy: $(0; -1,8)$, с осью Ox: $(-0,36; 0)$.

в) Для функции $y = -0,6x + 4,2$:
1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -0,6 \cdot 0 + 4,2 = 4,2$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 4,2)$.
2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -0,6x + 4,2$
$0,6x = 4,2$
$x = \frac{4,2}{0,6} = \frac{42}{6} = 7$.
Точка пересечения с осью Ox: $(7; 0)$.
Ответ: с осью Oy: $(0; 4,2)$, с осью Ox: $(7; 0)$.

г) Для функции $y = -x - 3,8$:
1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -0 - 3,8 = -3,8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3,8)$.
2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -x - 3,8$
$x = -3,8$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-3,8; 0)$.
Ответ: с осью Oy: $(0; -3,8)$, с осью Ox: $(-3,8; 0)$.

972. Покажите, как примерно расположен в координатной плоскости график функции:

а) Функция $y = -0,9x + 4$ является линейной. Её график — это прямая линия, которая описывается уравнением вида $y = kx + b$.

В данном случае угловой коэффициент $k = -0,9$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что её график направлен вниз при движении слева направо и образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс (Ox).

Свободный член $b = 4$. Это координата точки пересечения графика с осью ординат (Oy). Так как $b > 0$, прямая пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$, то есть выше начала координат.

Убывающая прямая, пересекающая ось Oy в положительной её части, будет проходить через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График функции $y = -0,9x + 4$ — это прямая, которая проходит через I, II и IV координатные четверти, пересекая ось ординат в точке $(0, 4)$.

б) Функция $y = 2,3x$ является частным случаем линейной функции, называемым прямой пропорциональностью ($y = kx$, где $b=0$). Её график — прямая, проходящая через начало координат.

Угловой коэффициент $k = 2,3$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Её график направлен вверх при движении слева направо и образует острый угол с положительным направлением оси Ox.

Поскольку график проходит через начало координат и функция возрастает, он расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = 2,3x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

в) Функцию $y = \frac{x}{10}$ можно представить в виде $y = 0,1x$. Это также прямая пропорциональность, её график — прямая, проходящая через начало координат.

Угловой коэффициент $k = 0,1$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей, а её график образует острый угол с положительным направлением оси Ox.

Значение $k=0,1$ мало, поэтому угол наклона прямой к оси Ox будет небольшим, то есть график будет "пологим", более прижатым к оси Ox, чем, например, график $y=x$. Прямая расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = \frac{x}{10}$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

г) Функция $y = -9$ является постоянной функцией (константой). Это частный случай линейной функции $y = kx + b$, где $k = 0$ и $b = -9$.

График такой функции — это прямая, параллельная оси абсцисс (Ox). Для любого значения $x$ значение $y$ остаётся постоянным и равным $-9$.

Поскольку ордината всех точек прямой равна $-9$ (отрицательное число), график расположен ниже оси Ox и проходит через точку $(0, -9)$. Он находится в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = -9$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, -9)$ и расположенная в III и IV координатных четвертях.

д) Функция $y = -9,5$ также является постоянной функцией ($k = 0$, $b = -9,5$).

Её график — прямая, параллельная оси Ox. Все точки этой прямой имеют ординату $-9,5$.

Так как $-9,5 < 0$, прямая расположена ниже оси Ox и пересекает ось Oy в точке $(0, -9,5)$. График находится в III и IV координатных четвертях, проходя немного ниже прямой $y = -9$.

Ответ: График функции $y = -9,5$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, -9,5)$ и расположенная в III и IV координатных четвертях.

е) Функция $y = 4\frac{1}{3}$ является постоянной функцией ($k = 0$, $b = 4\frac{1}{3}$).

Её график — прямая, параллельная оси Ox.

Так как ордината всех точек прямой равна $4\frac{1}{3}$ (положительное число), график расположен выше оси Ox и проходит через точку $(0, 4\frac{1}{3})$. Он находится в I и II координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = 4\frac{1}{3}$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 4\frac{1}{3})$ и расположенная в I и II координатных четвертях.