Номер 964, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 964, страница 191.

Условие.

964. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена 3,5х³ − 2,1х² + 1,9х − 16,7 при х = 3,7.
1) Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4 на с. 189, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.
2) Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
3) Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

Решение 1.

3,5х³ − 2,1х² + 1,9х − 16,7 =
= x(3,5x² - 2,1x + 1,9) - 16,7 =
= ((3,5x - 2,1) x + 1,9)x - 16,7

при x = 3,7
((3,5 ⋅ 3,7 - 2,1) ⋅ 3,7 + 1,9) ⋅ 3,7 -
- 16,7 = 138,8665

12,95 - 2,1 = 10,85

1) 3,7³ = 50,653;

2) 3,5 ⋅ 50,653 = 177,2855;

3) 3,7² = 13,69;

4) 2,1 ⋅13,69 = 28,749;

5) 1,9 ⋅ 3,7 = 7,03;

6) 177,2855 - 28,749 = 148,5365;

7) 148,5365 + 7,03 = 155,5665;

8) 155,5665 - 16,7 = 138,8665.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для нахождения значения многочлена $P(x) = 3.5x^3 - 2.1x^2 + 1.9x - 16.7$ при $x = 3.7$ выполним вычисления двумя предложенными способами.

Подход первого ученика (почленное вычисление):
Сначала вычисляется значение каждого члена многочлена, а затем находится их сумма.
1. Вычисление первого члена: $3.5x^3 = 3.5 \cdot (3.7)^3 = 3.5 \cdot 50.653 = 177.2855$.
2. Вычисление второго члена: $-2.1x^2 = -2.1 \cdot (3.7)^2 = -2.1 \cdot 13.69 = -28.749$.
3. Вычисление третьего члена: $1.9x = 1.9 \cdot 3.7 = 7.03$.
4. Сложение всех членов: $177.2855 - 28.749 + 7.03 - 16.7 = 138.8665$.

Подход второго ученика (преобразование многочлена по схеме Горнера):
Сначала многочлен преобразуется путем последовательного вынесения переменной $x$ за скобки:
$3.5x^3 - 2.1x^2 + 1.9x - 16.7 = ((3.5x - 2.1)x + 1.9)x - 16.7$.
Затем вычисления производятся в виде непрерывной цепочки действий при $x=3.7$:
1. $3.5 \cdot 3.7 - 2.1 = 12.95 - 2.1 = 10.85$.
2. Полученный результат умножается на $x$ и прибавляется следующий коэффициент: $10.85 \cdot 3.7 + 1.9 = 40.145 + 1.9 = 42.045$.
3. Повторяется операция с последним членом: $42.045 \cdot 3.7 - 16.7 = 155.5665 - 16.7 = 138.8665$.

Ответ: В обоих случаях получен результат $138.8665$.

2) Затраты времени на выполнение задания в каждом случае будут разными. Первый способ требует большего количества операций (6 умножений и 3 сложения/вычитания), а также необходимости записывать или хранить в памяти калькулятора несколько промежуточных результатов. Второй способ (схема Горнера) более эффективен, так как требует всего 3 умножения и 3 сложения/вычитания. Вычисления выполняются в виде непрерывной последовательности, что идеально подходит для калькулятора и экономит время.
Ответ: Второй способ (с преобразованием многочлена) требует меньше времени.

3) При сравнении двух подходов можно сделать следующие выводы.
Результаты: Полученные числовые значения полностью совпадают ($138.8665$), что говорит о математической корректности обоих методов.
Время и эффективность: Второй способ, основанный на схеме Горнера, является значительно более быстрым и удобным для вычислений на калькуляторе. Он оптимизирует процесс, сокращая количество операций (особенно умножений) и вероятность совершения ошибки из-за необходимости запоминать промежуточные результаты.
Ответ: Результаты вычислений идентичны, но второй способ значительно быстрее и эффективнее первого.