Номер 967, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 967, страница 191.

967. Докажите, что значения многочлена х³ − х при целых значениях х кратны числу 6.

Для того чтобы доказать, что значение многочлена $x^3 - x$ кратно 6 при любом целом значении $x$, преобразуем данный многочлен, разложив его на множители.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки, а затем воспользуемся формулой разности квадратов:$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

Переставив множители для удобства, получим выражение $(x-1)x(x+1)$. Это произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно, поскольку $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Докажем делимость произведения на 2. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении есть три последовательных числа, значит, как минимум одно из них четное, то есть делится на 2. Следовательно, все произведение делится на 2.

Докажем делимость произведения на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Рассмотрим возможные остатки от деления целого числа $x$ на 3:
1. Если $x$ делится на 3, то множитель $x$ в произведении кратен 3.
2. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 1, то множитель $(x-1)$ будет делиться на 3.
3. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 2, то множитель $(x+1)$ будет делиться на 3.
Таким образом, в произведении $(x-1)x(x+1)$ всегда есть множитель, кратный 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $(x-1)x(x+1)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Таким образом, мы доказали, что значение многочлена $x^3-x$ всегда кратно 6 при целых значениях $x$.

Ответ: Утверждение доказано, так как многочлен $x^3-x$ можно представить в виде произведения трех последовательных целых чисел $(x-1)x(x+1)$, которое всегда делится на 2 и на 3, а следовательно, и на 6.