Номер 965, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 965, страница 191.

Условие.

965. Решите уравнение:

а) х³ − х = 0;
б) 9х − х³ = 0;

в) х³ + х² = 0;
г) 5х⁴ − 20х² = 0.

Решение 1.

а) х³ − х = 0;
x(x² - 1) = 0;
x(x - 1) (x + 1) = 0;
x = 0 или
x - 1 = 0;
x = 1 или
x + 1 = 0;
x = -1.

Ответ: -1; 0; 1.

б) 9х − х³ = 0;
x(9 - x²) = 0;
x(3 - x) (3 + x) = 0;
x = 0 или
3 - x = 0;
x = 3 или
3 + x = 0;
x = -3.

Ответ: -3; 0; 3.

в) х³ + х² = 0;
x²(x + 1) = 0;
x² = 0;
x = 0 или
x + 1 = 0;
x = -1.

Ответ: -1; 0.

г) 5х⁴ − 20х² = 0;
5x²(x² - 4) = 0;
5x²(x - 2) (x + 2) = 0;
x² = 0;
x = 0 или
x - 2 = 0;
x = 2 или
x + 2 = 0;
x = -2.

Ответ: -2; 0; 2.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $x^3 - x = 0$.
Для начала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$
Решим второе уравнение. Это разность квадратов:
$x^2 = 1$
$x = \sqrt{1}$ или $x = -\sqrt{1}$
$x = 1$ или $x = -1$.
Собирая все корни, получаем три решения.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) Решим уравнение $9x - x^3 = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $9 - x^2 = 0$
Решим второе уравнение, которое является разностью квадратов:
$x^2 = 9$
$x = \sqrt{9}$ или $x = -\sqrt{9}$
$x = 3$ или $x = -3$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 3$.

в) Решим уравнение $x^3 + x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

г) Решим уравнение $5x^4 - 20x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:
$5x^2(x^2 - 4) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $5x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x^2 - 4 = 0$
Решим второе уравнение, используя формулу разности квадратов:
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$
$x = 2$ или $x = -2$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.