Страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

977. Представьте в виде многочлена выражение:
a) (a² + 3b³)³; б)(1 − 2xy)⁴.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^2 + 3b^3)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = 3b^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 + 3b^3)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) + 3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 + (3b^3)^3$

Выполним преобразования для каждого слагаемого:

1. $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

2. $3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot a^4 \cdot 3b^3 = 9a^4b^3$

3. $3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 = 3 \cdot a^2 \cdot (3^2 \cdot (b^3)^2) = 3 \cdot a^2 \cdot 9b^6 = 27a^2b^6$

4. $(3b^3)^3 = 3^3 \cdot (b^3)^3 = 27b^9$

Теперь сложим полученные одночлены:

$a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

Ответ: $a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

б) Для того чтобы представить выражение $(1 - 2xy)^4$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона для 4-й степени: $(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$. Коэффициенты $1, 4, 6, 4, 1$ можно найти с помощью треугольника Паскаля.

В данном случае $x = 1$ и $y = 2xy$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1 - 2xy)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) + 6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 + (2xy)^4$

Выполним преобразования для каждого слагаемого:

1. $1^4 = 1$

2. $4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) = 4 \cdot 2xy = 8xy$

3. $6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 = 6 \cdot (4x^2y^2) = 24x^2y^2$

4. $4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 = 4 \cdot (8x^3y^3) = 32x^3y^3$

5. $(2xy)^4 = 2^4x^4y^4 = 16x^4y^4$

Теперь запишем многочлен, учитывая знаки из формулы:

$1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

Ответ: $1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

978. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (х + у)⁶ + (х − у)⁶; б) (х + у)⁶ − (х − у)⁶.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для разложения выражений $(x+y)^6$ и $(x-y)^6$. Формула бинома Ньютона выглядит так:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=6$ ряд биномиальных коэффициентов ($C_6^0, C_6^1, ..., C_6^6$) следующий: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.

Используя эти коэффициенты, разложим $(x+y)^6$:

$(x+y)^6 = 1 \cdot x^6y^0 + 6 \cdot x^5y^1 + 15 \cdot x^4y^2 + 20 \cdot x^3y^3 + 15 \cdot x^2y^4 + 6 \cdot x^1y^5 + 1 \cdot x^0y^6$

$(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$

Теперь разложим $(x-y)^6$, что эквивалентно $(x+(-y))^6$. Знаки при членах с нечетной степенью $y$ будут отрицательными:

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$

Теперь, имея эти два разложения, мы можем решить оба пункта задачи.

а) $(x+y)^6 + (x-y)^6$

Сложим полученные многочлены:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$

При сложении члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$(x^6+x^6) + (6x^5y-6x^5y) + (15x^4y^2+15x^4y^2) + (20x^3y^3-20x^3y^3) + (15x^2y^4+15x^2y^4) + (6xy^5-6xy^5) + (y^6+y^6)$

$= 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$

Ответ: $2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$

б) $(x+y)^6 - (x-y)^6$

Вычтем второй многочлен из первого:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) - (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$

Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена на противоположные:

$x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6 - x^6 + 6x^5y - 15x^4y^2 + 20x^3y^3 - 15x^2y^4 + 6xy^5 - y^6$

При вычитании члены с четными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$(x^6-x^6) + (6x^5y+6x^5y) + (15x^4y^2-15x^4y^2) + (20x^3y^3+20x^3y^3) + (15x^2y^4-15x^2y^4) + (6xy^5+6xy^5) + (y^6-y^6)$

$= 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$

Ответ: $12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$

979. Выражение (1 + у)³ + (1 + у)⁴ + (1 + у)⁵ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: a) у²; б) у³.

Чтобы найти коэффициент члена многочлена, содержащего определенную степень y, нужно найти коэффициенты при этой степени в каждом из слагаемых $(1 + y)^3$, $(1 + y)^4$ и $(1 + y)^5$, а затем сложить их.

Для нахождения коэффициентов в разложении степени двучлена (бинома) воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент.

В нашем случае $a=1$ и $b=y$, поэтому формула для каждого слагаемого имеет вид:

$(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k y^k$.

Это означает, что коэффициент при члене, содержащем $y^k$, в разложении $(1+y)^n$ равен $C_n^k$.

а) Найдем коэффициент при $y^2$.

Коэффициент при $y^2$ в итоговом многочлене будет равен сумме коэффициентов при $y^2$ в разложениях каждого из трех слагаемых.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=3$, $k=2$) равен $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=4$, $k=2$) равен $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=5$, $k=2$) равен $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Складываем найденные коэффициенты:

$3 + 6 + 10 = 19$.

Ответ: 19.

б) Найдем коэффициент при $y^3$.

Коэффициент при $y^3$ в итоговом многочлене будет равен сумме коэффициентов при $y^3$ в разложениях каждого из трех слагаемых.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=3$, $k=3$) равен $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=4$, $k=3$) равен $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=5$, $k=3$) равен $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Складываем найденные коэффициенты:

$1 + 4 + 10 = 15$.

Ответ: 15.

980. Какой остаток получится при делении числа 147⁶ на 145?

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами модульной арифметики, или сравнений по модулю. Нам необходимо найти остаток от деления числа $147^6$ на $145$, что математически записывается как нахождение значения выражения $147^6 \pmod{145}$.

Шаг 1: Упрощение основания степени. Первым делом упростим основание степени, число $147$, по модулю $145$. Для этого найдем остаток от деления $147$ на $145$:
$147 = 1 \cdot 145 + 2$
Это означает, что число $147$ дает остаток $2$ при делении на $145$. В виде сравнения по модулю это записывается так:
$147 \equiv 2 \pmod{145}$

Шаг 2: Использование свойства степени для сравнений. В теории сравнений существует свойство, согласно которому, если $a \equiv b \pmod{m}$, то и $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального показателя степени $n$.
Применим это свойство к нашему случаю, возведя обе части сравнения в степень $6$:
$147^6 \equiv 2^6 \pmod{145}$
Таким образом, исходная задача свелась к более простой: найти остаток от деления $2^6$ на $145$.

Шаг 3: Вычисление степени и нахождение остатка. Теперь вычислим значение выражения $2^6$:
$2^6 = 64$
Мы получили, что $147^6$ сравнимо с $64$ по модулю $145$:
$147^6 \equiv 64 \pmod{145}$
Поскольку число $64$ меньше делителя $145$ ($0 \le 64 < 145$), то остаток от деления $64$ на $145$ равен самому числу $64$.

Следовательно, остаток от деления числа $147^6$ на $145$ равен $64$.

Ответ: 64

981. Докажите, что значение выражения:
а) 83⁴ + 65 кратно 81;
б) 141¹⁰ + 88 кратно 139.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно $81$, представим число $83$ в виде суммы, где одно из слагаемых близко к $81$. В данном случае $83 = 81 + 2$. Подставим это в исходное выражение:
$83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65$.
Применим формулу бинома Ньютона для раскрытия скобок $(a+b)^n$. В выражении $(81+2)^4$ все слагаемые в разложении, кроме последнего, будут содержать множитель $81$. Поэтому сумму всех этих слагаемых можно представить как $81k$, где $k$ — некоторое целое число. Последним слагаемым будет $2^4$.
Таким образом, $(81 + 2)^4 = 81k + 2^4$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$81k + 2^4 + 65 = 81k + 16 + 65 = 81k + 81$.
Вынесем общий множитель $81$ за скобки:
$81(k+1)$.
Поскольку $k$ является целым числом, то и $k+1$ — целое число. Следовательно, выражение $81(k+1)$ кратно $81$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно $139$, воспользуемся аналогичным подходом. Представим число $141$ в виде суммы $139 + 2$.
Исходное выражение примет вид:
$141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88$.
При раскрытии скобок $(139 + 2)^{10}$ по формуле бинома Ньютона все слагаемые, за исключением последнего, будут содержать множитель $139$, а значит их сумма будет кратна $139$. Эту сумму можно представить как $139m$, где $m$ — целое число. Последним слагаемым в разложении будет $2^{10}$.
Таким образом, $(139 + 2)^{10} = 139m + 2^{10}$.
Подставим это в наше выражение:
$139m + 2^{10} + 88$.
Вычислим значение оставшейся части:
$2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112$.
Теперь необходимо проверить, кратно ли число $1112$ числу $139$. Выполним деление:
$1112 \div 139 = 8$.
Поскольку $1112$ делится на $139$ нацело, мы можем записать $1112 = 139 \cdot 8$.
Теперь всё выражение можно переписать в виде:
$139m + 139 \cdot 8 = 139(m+8)$.
Так как $m$ — целое число, то $m+8$ также является целым числом. Значит, выражение $139(m+8)$ кратно $139$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

982. Докажите тождество (а + b + с)² = а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс.

Чтобы доказать тождество, необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Для этого преобразуем левую часть равенства, используя определение степени и правила умножения многочленов.

Левая часть тождества представляет собой квадрат суммы трех слагаемых $(a + b + c)^2$. По определению степени, это выражение равно произведению $(a + b + c)$ на само себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Теперь раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (правило "каждый на каждый"):

$(a + b + c)(a + b + c) = a \cdot (a + b + c) + b \cdot (a + b + c) + c \cdot (a + b + c)$

Выполним умножение:

$(a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c) + (b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c) + (c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c)$

В результате получаем:

$a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Сначала запишем квадраты каждого слагаемого, а затем попарные произведения. Учтем, что умножение коммутативно, то есть $ab = ba$, $ac = ca$ и $bc = cb$.

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, в точности совпадающее с правой частью исходного равенства.

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано путем преобразования его левой части к виду правой части.

983. Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (х + 7)² − (х − 5)(х + 19);
б) (х + 9)² + (8 − х)(х + 26).

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x + 7)? - (x - 5)(x + 19)$ не зависит от $x$, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены, содержащие $x$, сократятся, то утверждение будет доказано.

1. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$.

2. Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(x - 5)(x + 19) = x \cdot x + x \cdot 19 - 5 \cdot x - 5 \cdot 19 = x^2 + 19x - 5x - 95 = x^2 + 14x - 95$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x - 95) = x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x + 95$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (14x - 14x) + (49 + 95) = 0 + 0 + 144 = 144$.

Так как в результате упрощения получилось число 144, которое не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от $x$.
Ответ: 144.

б) Упростим выражение $(x + 9)? + (8 - x)(x + 26)$, чтобы доказать, что его значение не зависит от $x$.

1. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$.

2. Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(8 - x)(x + 26) = 8 \cdot x + 8 \cdot 26 - x \cdot x - x \cdot 26 = 8x + 208 - x^2 - 26x = -x^2 - 18x + 208$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним сложение:
$(x^2 + 18x + 81) + (-x^2 - 18x + 208) = x^2 + 18x + 81 - x^2 - 18x + 208$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (18x - 18x) + (81 + 208) = 0 + 0 + 289 = 289$.

Так как в результате упрощения получилось число 289, которое не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от $x$.
Ответ: 289.

984. Решите уравнение:
а) (3х + 1)³ = 27х²(х + 1) + 8х + 2;
б) 4х²(2х + 9) = (2х + 3)³ + 12(3х + 1).

а) $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Левая часть:

$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

Правая часть:

$27x^2(x + 1) + 8x + 2 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Сократим одинаковые слагаемые $27x^3$ и $27x^2$ в обеих частях уравнения:

$9x + 1 = 8x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 8x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

б) $4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$4x^2(2x + 9) = 8x^3 + 36x^2$

Правая часть. Сначала раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$

Теперь раскроем вторую скобку в правой части:

$12(3x + 1) = 36x + 12$

Сложим полученные выражения для правой части:

$(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) + (36x + 12) = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Сократим одинаковые слагаемые $8x^3$ и $36x^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = 90x + 39$

Решим полученное линейное уравнение:

$-90x = 39$

$x = -\frac{39}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{13}{30}$

Ответ: $x = -\frac{13}{30}$.

985. Разложите на множители:

а) Чтобы разложить на множители выражение $b^2 + 10b + 25$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении первый член $b^2$ является квадратом $b$, а третий член $25$ является квадратом $5$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $b$ и $5$: $2 \cdot b \cdot 5 = 10b$.
Так как все условия выполняются, выражение является полным квадратом суммы.
$b^2 + 10b + 25 = (b)^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$.
Ответ: $(b+5)^2$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $c^2 - 8c + 16$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении первый член $c^2$ является квадратом $c$, а третий член $16$ является квадратом $4$.
Проверим, равен ли средний член (без учета знака) удвоенному произведению $c$ и $4$: $2 \cdot c \cdot 4 = 8c$.
Так как перед средним членом стоит знак минус, выражение является полным квадратом разности.
$c^2 - 8c + 16 = (c)^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$.
Ответ: $(c-4)^2$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $16x^2 - 8x + 1$, применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Первый член $16x^2$ является квадратом $4x$, а третий член $1$ является квадратом $1$.
Проверим средний член: $2 \cdot (4x) \cdot 1 = 8x$.
Знак перед средним членом — минус, значит, это квадрат разности.
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x-1)^2$.
Ответ: $(4x-1)^2$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $4c^2 + 12c + 9$, применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Первый член $4c^2$ является квадратом $2c$, а третий член $9$ является квадратом $3$.
Проверим средний член: $2 \cdot (2c) \cdot 3 = 12c$.
Знак перед средним членом — плюс, значит, это квадрат суммы.
$4c^2 + 12c + 9 = (2c)^2 + 2 \cdot 2c \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.
Ответ: $(2c+3)^2$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 + 2x^2y + y^2$, применим формулу квадрата суммы: $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
В данном случае $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, следовательно $A = x^2$.
$B^2 = y^2$, следовательно $B = y$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Выражение является полным квадратом суммы.
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2+y)^2$.
Ответ: $(x^2+y)^2$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$, применим формулу квадрата разности: $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
В данном случае $A^2 = a^6 = (a^3)^2$, следовательно $A = a^3$.
$B^2 = 9b^4 = (3b^2)^2$, следовательно $B = 3b^2$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot a^3 \cdot (3b^2) = 6a^3b^2$.
Знак перед средним членом — минус, значит, это квадрат разности.
$a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot (3b^2) + (3b^2)^2 = (a^3-3b^2)^2$.
Ответ: $(a^3-3b^2)^2$.

986. Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) Данное выражение $a^4 - 8a^2 + 16$ можно представить в виде квадрата разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$. Первый член $a^4 = (a^2)^2$, значит $x=a^2$.
Третий член $16 = 4^2$, значит $y=4$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot a^2 \cdot 4 = -8a^2$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, выражение сворачивается в квадрат разности: $a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2 - 4)^2$.
Ответ: $(a^2 - 4)^2$.

б) В выражении $-4 - 4b - b^2$ все члены отрицательны. Вынесем знак минус за скобки: $-(4 + 4b + b^2)$.
Выражение в скобках $b^2 + 4b + 4$ является квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = b^2$, значит $x=b$.
$y^2 = 4 = 2^2$, значит $y=2$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot b \cdot 2 = 4b$. Он совпадает.
Таким образом, $b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2$.
Исходное выражение равно $-(b+2)^2$.
Ответ: $-(b + 2)^2$.

в) В выражении $10x - x^2 - 25$ вынесем минус за скобки, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $-(x^2 - 10x + 25)$.
Выражение в скобках $x^2 - 10x + 25$ является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2=x^2$, значит $a=x$.
$b^2=25=5^2$, значит $b=5$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 5 = -10x$. Он совпадает.
Следовательно, $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Исходное выражение равно $-(x-5)^2$.
Ответ: $-(x - 5)^2$.

г) Переставим члены в выражении $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$ для удобства: $c^4d^2 - 2c^2d + 1$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = c^4d^2 = (c^2d)^2$, значит $a=c^2d$.
$b^2 = 1 = 1^2$, значит $b=1$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot c^2d \cdot 1 = -2c^2d$. Он совпадает.
Таким образом, выражение равно $(c^2d - 1)^2$.
Ответ: $(c^2d - 1)^2$.

д) Выражение $a^6b^2 + 12a^3b + 36$ является квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^6b^2 = (a^3b)^2$, значит $x=a^3b$.
$y^2 = 36 = 6^2$, значит $y=6$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot a^3b \cdot 6 = 12a^3b$. Он совпадает.
Следовательно, выражение равно $(a^3b + 6)^2$.
Ответ: $(a^3b + 6)^2$.

е) Переставим члены в выражении $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$ для удобства: $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = \frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$, значит $a=\frac{1}{2}x$.
$b^2 = 1 = 1^2$, значит $b=1$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1 = x$. Он совпадает.
Таким образом, выражение равно $(\frac{1}{2}x + 1)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}x + 1)^2$.

ж) В выражении $y - y^2 - 0,25$ вынесем минус за скобки: $-(y^2 - y + 0,25)$.
Выражение в скобках $y^2 - y + 0,25$ является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = y^2$, значит $a=y$.
$b^2 = 0,25 = 0,5^2$, значит $b=0,5$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot y \cdot 0,5 = -y$. Он совпадает.
Следовательно, $y^2 - y + 0,25 = (y - 0,5)^2$.
Исходное выражение равно $-(y - 0,5)^2$.
Ответ: $-(y - 0,5)^2$.

з) Выражение $9 - m + \frac{1}{36}m^2$ можно представить в виде квадрата разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 9 = 3^2$, значит $a=3$.
$b^2 = \frac{1}{36}m^2 = (\frac{1}{6}m)^2$, значит $b=\frac{1}{6}m$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}m = -m$. Он совпадает.
Таким образом, выражение равно $(3 - \frac{1}{6}m)^2$.
Ответ: $(3 - \frac{1}{6}m)^2$.

и) В выражении $-25 - 2n - 0,04n^2$ все члены отрицательны. Вынесем минус за скобки: $-(25 + 2n + 0,04n^2)$.
Выражение в скобках $25 + 2n + 0,04n^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 25 = 5^2$, значит $a=5$.
$b^2 = 0,04n^2 = (0,2n)^2$, значит $b=0,2n$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 5 \cdot 0,2n = 2n$. Он совпадает.
Следовательно, $25 + 2n + 0,04n^2 = (5 + 0,2n)^2$.
Исходное выражение равно $-(5 + 0,2n)^2$.
Ответ: $-(5 + 0,2n)^2$.

987. Вычислите:

а) Для вычисления произведения $1005 \cdot 995$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Представим множители в следующем виде:
$1005 = 1000 + 5$
$995 = 1000 - 5$
Тогда произведение можно записать как:
$1005 \cdot 995 = (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 = 999975$.
Ответ: 999975.

б) Для вычисления произведения $108 \cdot 92$ также применим формулу разности квадратов.
Представим множители в виде:
$108 = 100 + 8$
$92 = 100 - 8$
Тогда произведение равно:
$108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936$.
Ответ: 9936.

в) Для вычисления произведения $0,94 \cdot 1,06$ используем тот же подход.
Представим множители:
$0,94 = 1 - 0,06$
$1,06 = 1 + 0,06$
Тогда:
$0,94 \cdot 1,06 = (1 - 0,06)(1 + 0,06) = 1^2 - 0,06^2 = 1 - 0,0036 = 0,9964$.
Ответ: 0,9964.

г) Для вычисления произведения $1,09 \cdot 0,91$ снова применяем формулу разности квадратов.
Представим множители:
$1,09 = 1 + 0,09$
$0,91 = 1 - 0,09$
Тогда:
$1,09 \cdot 0,91 = (1 + 0,09)(1 - 0,09) = 1^2 - 0,09^2 = 1 - 0,0081 = 0,9919$.
Ответ: 0,9919.

д) Для вычисления произведения смешанных дробей $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$ преобразуем их так, чтобы можно было использовать формулу разности квадратов.
$10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}$
$9\frac{6}{7} = 9 + \frac{6}{7} = 10 - 1 + \frac{6}{7} = 10 - \frac{7}{7} + \frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}$
Теперь произведение можно записать как:
$(10 + \frac{1}{7})(10 - \frac{1}{7}) = 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} = 99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}$.
Ответ: $99\frac{48}{49}$.

е) Для вычисления произведения $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}$ поступим аналогично предыдущему пункту.
Преобразуем множители:
$99\frac{7}{9} = 100 - 1 + \frac{7}{9} = 100 - \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}$
$100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}$
Тогда произведение равно:
$(100 - \frac{2}{9})(100 + \frac{2}{9}) = 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} = 9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}$.
Ответ: $9999\frac{77}{81}$.