Номер 977, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 977, страница 195.

Условие.

977. Представьте в виде многочлена выражение:
a) (a² + 3b³)³; б)(1 − 2xy)⁴.

Решение 1.

a) (a² + 3b³)³ = (a²)³ +
+ 3(a²)² 3b³ + 3a²(3b³)² +
+ (3b³)³ = a⁶ + 9a⁴b³ +
+ 27a²b⁶ + 27b⁹;

б) (1 − 2xy)⁴ = (1 + (-2xy))⁴ =
= 1⁴ + 4 ⋅ 1³ ⋅ (-2xy) + 6 ⋅ 1² ×
× (-2xy)² + 4 ⋅ 1 ⋅ (-2xy)³ +
+ (-2xy)⁴ = 1 - 8xy + 24x²y² -
- 32x³y³ + 16x⁴y⁴.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^2 + 3b^3)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = 3b^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 + 3b^3)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) + 3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 + (3b^3)^3$

Выполним преобразования для каждого слагаемого:

1. $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

2. $3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot a^4 \cdot 3b^3 = 9a^4b^3$

3. $3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 = 3 \cdot a^2 \cdot (3^2 \cdot (b^3)^2) = 3 \cdot a^2 \cdot 9b^6 = 27a^2b^6$

4. $(3b^3)^3 = 3^3 \cdot (b^3)^3 = 27b^9$

Теперь сложим полученные одночлены:

$a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

Ответ: $a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

б) Для того чтобы представить выражение $(1 - 2xy)^4$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона для 4-й степени: $(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$. Коэффициенты $1, 4, 6, 4, 1$ можно найти с помощью треугольника Паскаля.

В данном случае $x = 1$ и $y = 2xy$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1 - 2xy)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) + 6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 + (2xy)^4$

Выполним преобразования для каждого слагаемого:

1. $1^4 = 1$

2. $4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) = 4 \cdot 2xy = 8xy$

3. $6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 = 6 \cdot (4x^2y^2) = 24x^2y^2$

4. $4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 = 4 \cdot (8x^3y^3) = 32x^3y^3$

5. $(2xy)^4 = 2^4x^4y^4 = 16x^4y^4$

Теперь запишем многочлен, учитывая знаки из формулы:

$1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

Ответ: $1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$