Номер 974, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 974, страница 194.

Условие.

974. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена а + b. Проверьте результат, умножив на а + b многочлен, равный (а + b)⁵.

Решение 1.

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² +
+ 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶;

(a + b)⁶ = (a + b)⁵ (a + b) =
= (a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ +
+ 5ab⁴ + b⁵) (a + b) = a⁶ +
+5a⁵b + 10a⁴b² + 10a³b³ +
+ 5a²b⁴ + ab⁵ + a⁵b + 5a⁴b² +
+10a³b³ + 10a²b⁴ + 5ab⁵ +
+b⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² +
+ 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a + b.
Треугольник Паскаля — это бесконечная треугольная таблица биномиальных коэффициентов. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Строки треугольника нумеруются с нуля. Для нахождения коэффициентов разложения двучлена $(a+b)^n$ нужно взять числа из строки с номером $n$.
Построим треугольник Паскаля до строки с номером 6:
$n=0$: 1
$n=1$: 1 1
$n=2$: 1 2 1
$n=3$: 1 3 3 1
$n=4$: 1 4 6 4 1
$n=5$: 1 5 10 10 5 1
$n=6$: 1 6 15 20 15 6 1
Коэффициенты для разложения $(a+b)^6$ находятся в 6-й строке: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Формула разложения (бином Ньютона) использует эти коэффициенты. При этом степени переменной $a$ убывают от $n$ до 0, а степени переменной $b$ возрастают от 0 до $n$.
Для $n=6$ получаем:
$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$
После упрощения:
$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.

Проверьте результат, умножив на a + b многочлен, равный $(a+b)^5$.
Сначала запишем разложение для $(a+b)^5$, используя коэффициенты из 5-й строки треугольника Паскаля (1, 5, 10, 10, 5, 1):
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
Теперь умножим этот многочлен на $(a+b)$, чтобы получить $(a+b)^6$:
$(a+b)^6 = (a+b) \cdot (a+b)^5 = (a+b) \cdot (a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$
Раскроем скобки, умножив многочлен сначала на $a$, а затем на $b$:
$a \cdot (a^5 + 5a^4b + \dots) = a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5$
$b \cdot (a^5 + 5a^4b + \dots) = a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6$
Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5) + (a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6) =$
$= a^6 + (5a^5b + a^5b) + (10a^4b^2 + 5a^4b^2) + (10a^3b^3 + 10a^3b^3) + (5a^2b^4 + 10a^2b^4) + (ab^5 + 5ab^5) + b^6 =$
$= a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
Полученный результат полностью совпадает с формулой, выведенной с помощью треугольника Паскаля.
Ответ: Результат умножения $(a+b)(a+b)^5$ равен $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$, что подтверждает правильность формулы для шестой степени двучлена.