Номер 980, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 980, страница 195.

Условие.

980. Какой остаток получится при делении числа 147⁶ на 145?

Решение 1.

147⁶ = (145 + 2)⁶ =
= 145⁶ + 6 ⋅ 145⁵ ⋅ 2 + 15 ×
× 145⁴ ⋅ 2² + 20 ⋅ 145³ ⋅ 2³ +
+ 15 ⋅ 145² ⋅ 2⁴ + 6 ⋅ 145 ×
× 2⁵ + 2⁶.

В первых шести слагаемых данного числа присутствует множитель 145. Значит, все они делятся на 145 без остатка. Следовательно, остаток – это слагаемое 2⁶ = 64.

Ответ: 64.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами модульной арифметики, или сравнений по модулю. Нам необходимо найти остаток от деления числа $147^6$ на $145$, что математически записывается как нахождение значения выражения $147^6 \pmod{145}$.

Шаг 1: Упрощение основания степени. Первым делом упростим основание степени, число $147$, по модулю $145$. Для этого найдем остаток от деления $147$ на $145$:
$147 = 1 \cdot 145 + 2$
Это означает, что число $147$ дает остаток $2$ при делении на $145$. В виде сравнения по модулю это записывается так:
$147 \equiv 2 \pmod{145}$

Шаг 2: Использование свойства степени для сравнений. В теории сравнений существует свойство, согласно которому, если $a \equiv b \pmod{m}$, то и $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального показателя степени $n$.
Применим это свойство к нашему случаю, возведя обе части сравнения в степень $6$:
$147^6 \equiv 2^6 \pmod{145}$
Таким образом, исходная задача свелась к более простой: найти остаток от деления $2^6$ на $145$.

Шаг 3: Вычисление степени и нахождение остатка. Теперь вычислим значение выражения $2^6$:
$2^6 = 64$
Мы получили, что $147^6$ сравнимо с $64$ по модулю $145$:
$147^6 \equiv 64 \pmod{145}$
Поскольку число $64$ меньше делителя $145$ ($0 \le 64 < 145$), то остаток от деления $64$ на $145$ равен самому числу $64$.

Следовательно, остаток от деления числа $147^6$ на $145$ равен $64$.

Ответ: 64