Номер 984, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 984, страница 195.

984. Решите уравнение:
а) (3х + 1)³ = 27х²(х + 1) + 8х + 2;
б) 4х²(2х + 9) = (2х + 3)³ + 12(3х + 1).

а) $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Левая часть:

$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

Правая часть:

$27x^2(x + 1) + 8x + 2 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Сократим одинаковые слагаемые $27x^3$ и $27x^2$ в обеих частях уравнения:

$9x + 1 = 8x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 8x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

б) $4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$4x^2(2x + 9) = 8x^3 + 36x^2$

Правая часть. Сначала раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$

Теперь раскроем вторую скобку в правой части:

$12(3x + 1) = 36x + 12$

Сложим полученные выражения для правой части:

$(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) + (36x + 12) = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Сократим одинаковые слагаемые $8x^3$ и $36x^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = 90x + 39$

Решим полученное линейное уравнение:

$-90x = 39$

$x = -\frac{39}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{13}{30}$

Ответ: $x = -\frac{13}{30}$.