Номер 3, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 3, страница 192.

3 Какие способы разложения многочленов на множители вам известны?

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов). Существует несколько основных способов для этого.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ основан на распределительном законе умножения ($ac+bc = c(a+b)$). Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки. Это, как правило, первый способ, который стоит попробовать применить.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 - 25a^2b^3$.

Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Находим общие переменные в наименьшей степени: для $a^3$ и $a^2$ это $a^2$, для $b^2$ и $b^3$ это $b^2$. Таким образом, общий множитель — $5a^2b^2$. Выносим его за скобки:

$15a^3b^2 - 25a^2b^3 = 5a^2b^2 \cdot (3a) - 5a^2b^2 \cdot (5b) = 5a^2b^2(3a - 5b)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a - 5b)$.

2. Способ группировки

Этот метод применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. Обычно он используется для многочленов с четырьмя или более членами. Суть метода в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп.

Пример: Разложить на множители $xy - 6 + 3x - 2y$.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(xy + 3x) + (-6 - 2y)$.

В первой группе вынесем за скобки $x$, а во второй — $-2$:

$x(y + 3) - 2(3 + y)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(y+3)$, который мы тоже выносим за скобки:

$(y+3)(x-2)$.

Ответ: $(x-2)(y+3)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Многие многочлены можно разложить, применив в обратном порядке формулы сокращенного умножения. Основные из них:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Пример: Разложить на множители $49x^2 - 121y^4$.

Представим многочлен в виде разности квадратов: $49x^2 = (7x)^2$ и $121y^4 = (11y^2)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=7x$ и $b=11y^2$:

$(7x - 11y^2)(7x + 11y^2)$.

Ответ: $(7x - 11y^2)(7x + 11y^2)$.

4. Разложение квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 4x - 4$.

Сначала решим уравнение $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Подставляем корни в формулу разложения: $3(x - (-\frac{2}{3}))(x - 2) = 3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 3 на первую скобку: $(3x + 2)(x-2)$.

Ответ: $(3x+2)(x-2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем добавления и вычитания некоторого слагаемого так, чтобы можно было выделить полный квадрат, а затем, возможно, применить формулу разности квадратов.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $4x^2$. Добавим и вычтем его:

$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$.

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:

$(x^2+2)^2 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$.

Получилась разность квадратов, которую раскладываем по формуле:

$(x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.