Страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1021. При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х² + х − 1)(х − а), не содержит:

а) х²; б) х?

Для того чтобы ответить на вопросы, необходимо сначала представить произведение многочленов в виде многочлена стандартного вида. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2 + x - 1)(x - a) = x \cdot (x^2 + x - 1) - a \cdot (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x - ax^2 - ax + a$

Теперь приведем подобные члены, сгруппировав их по степеням переменной $x$:

$x^3 + (x^2 - ax^2) + (-x - ax) + a = x^3 + (1 - a)x^2 + (-1 - a)x + a$

Теперь у нас есть многочлен в стандартном виде: $x^3 + (1 - a)x^2 - (1 + a)x + a$.

а)

Многочлен не содержит член $x^2$, если коэффициент при $x^2$ равен нулю. Коэффициент при $x^2$ в нашем многочлене равен $(1 - a)$.

Составим и решим уравнение:

$1 - a = 0$

$a = 1$

Таким образом, при $a = 1$ многочлен не будет содержать $x^2$.

Ответ: $a = 1$.

б)

Многочлен не содержит член $x$, если коэффициент при $x$ равен нулю. Коэффициент при $x$ в нашем многочлене равен $-(1 + a)$.

Составим и решим уравнение:

$-(1 + a) = 0$

$1 + a = 0$

$a = -1$

Таким образом, при $a = -1$ многочлен не будет содержать $x$.

Ответ: $a = -1$.

1022. При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х² − 10х + 6)(2х + b):
а) не содержит х²;
б) имеет равные коэффициенты при х³ и при х?

Сначала раскроем скобки и приведём многочлен к стандартному виду, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = x^2(2x + b) - 10x(2x + b) + 6(2x + b) = 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b$

Теперь сгруппируем подобные члены:

$2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$

Теперь, имея многочлен в стандартном виде, мы можем найти значения $b$ для каждого условия.

а) не содержит $x^2$

Чтобы многочлен не содержал член $x^2$, коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю. В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен $(b - 20)$.

Составим и решим уравнение:

$b - 20 = 0$

$b = 20$

Ответ: $b = 20$.

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$

Коэффициент при $x^3$ равен $2$.

Коэффициент при $x$ равен $(12 - 10b)$.

Чтобы эти коэффициенты были равны, необходимо решить следующее уравнение:

$2 = 12 - 10b$

Перенесем члены уравнения:

$10b = 12 - 2$

$10b = 10$

$b = \frac{10}{10}$

$b = 1$

Ответ: $b = 1$.

1023. Представьте в виде произведения:

а) Чтобы представить выражение $7a^3 + 7b^3$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель $7$ за скобки:
$7a^3 + 7b^3 = 7(a^3 + b^3)$.
Теперь применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$.
$7(a^3 + b^3) = 7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

б) Чтобы представить выражение $2a^4 - 2b^4$ в виде произведения, вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$.
$2(a^4 - b^4) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный вид:
$2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.

в) В выражении $5a^4 + 5b^4$ вынесем общий множитель $5$ за скобки:
$5a^4 + 5b^4 = 5(a^4 + b^4)$.
Выражение $a^4 + b^4$ (сумма четвертых степеней) не разлагается на множители с действительными рациональными коэффициентами по стандартным школьным формулам. Таким образом, вынесение общего множителя является в данном случае единственным действием по представлению в виде произведения.
Ответ: $5(a^4 + b^4)$.

г) Чтобы представить выражение $2,5a^6 - 2,5b^6$ в виде произведения, вынесем общий множитель $2,5$ за скобки:
$2,5a^6 - 2,5b^6 = 2,5(a^6 - b^6)$.
Выражение $a^6 - b^6$ можно рассматривать как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
$a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.
Теперь применим формулы разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Следовательно, итоговое выражение:
$2,5(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $2,5(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.

д) В выражении $1,2a^6 + 1,2b^6$ вынесем общий множитель $1,2$ за скобки:
$1,2a^6 + 1,2b^6 = 1,2(a^6 + b^6)$.
Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов $(a^2)^3 + (b^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$.
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2+b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Итоговое произведение:
$1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Ответ: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

е) Чтобы представить выражение $3a^8 - 3b^8$ в виде произведения, вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$3a^8 - 3b^8 = 3(a^8 - b^8)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2$. Применим формулу разности квадратов.
$3(a^8 - b^8) = 3(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.
Множитель $(a^4 - b^4)$ также является разностью квадратов, которую можно разложить дальше: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Получаем: $3(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
И, наконец, множитель $(a^2 - b^2)$ раскладывается как $(a-b)(a+b)$.
Подставляя все вместе, получаем:
$3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Ответ: $3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

1024. Докажите, что число, равное разности 111111 − 222, является квадратом натурального числа.

Чтобы доказать, что число, равное разности $111111 - 222$, является квадратом натурального числа, необходимо выполнить преобразования этого выражения.

Представим числа $111111$ и $222$ в виде, удобном для алгебраических манипуляций. Заметим, что оба числа кратны $111$.

Число $111111$ можно записать как: $111111 = 111000 + 111 = 111 \times 1000 + 111 \times 1 = 111 \times (1000 + 1) = 111 \times 1001$.

Число $222$ можно представить как: $222 = 2 \times 111$.

Теперь подставим эти выражения в исходную разность: $111111 - 222 = (111 \times 1001) - (2 \times 111)$.

Вынесем общий множитель $111$ за скобки: $111 \times (1001 - 2) = 111 \times 999$.

Теперь преобразуем полученное произведение. Заметим, что $999 = 9 \times 111$: $111 \times 999 = 111 \times (9 \times 111) = 9 \times 111 \times 111 = 9 \times 111^2$.

Поскольку $9$ является квадратом числа $3$ ($9 = 3^2$), мы можем записать всё выражение как квадрат одного числа, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $9 \times 111^2 = 3^2 \times 111^2 = (3 \times 111)^2$.

Вычислим значение в скобках: $3 \times 111 = 333$.

Таким образом, исходное выражение равно $333^2$: $111111 - 222 = 333^2 = 110889$.

Так как $333$ — это натуральное число, мы доказали, что разность $111111 - 222$ является квадратом натурального числа.

Ответ: Разность $111111 - 222$ равна $110889$, что является квадратом натурального числа $333$ ($333^2 = 110889$), что и требовалось доказать.

1025. Преобразуйте в произведение выражение:
а) 9с¹⁵ − с¹³; б) х²² − 149x²⁰; в) а⁵ − 0,064а²; г) у⁷ − 179у⁵.

а) Для преобразования выражения $9c^{15} - c^{13}$ в произведение, сначала вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для $c^{15}$ и $c^{13}$ является $c^{13}$ (младшая степень).
$9c^{15} - c^{13} = c^{13}(9c^{15-13} - 1) = c^{13}(9c^2 - 1)$.
Выражение в скобках $9c^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, так как $9c^2 = (3c)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$9c^2 - 1 = (3c)^2 - 1^2 = (3c - 1)(3c + 1)$.
Подставляем полученное разложение обратно в выражение:
$c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$.
Ответ: $c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$.

б) В выражении $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20}$ вынесем за скобки общий множитель $x^{20}$ (младшая степень $x$).
$x^{22} - \frac{1}{49}x^{20} = x^{20}(x^{22-20} - \frac{1}{49}) = x^{20}(x^2 - \frac{1}{49})$.
Выражение в скобках $x^2 - \frac{1}{49}$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - \frac{1}{49} = x^2 - (\frac{1}{7})^2 = (x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.
Итоговое выражение в виде произведения:
$x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.
Ответ: $x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.

в) В выражении $a^5 - 0,064a^2$ вынесем за скобки общий множитель $a^2$.
$a^5 - 0,064a^2 = a^2(a^{5-2} - 0,064) = a^2(a^3 - 0,064)$.
Выражение в скобках $a^3 - 0,064$ является разностью кубов, так как $a^3 = (a)^3$ и $0,064 = 0,4^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
$a^3 - 0,064 = a^3 - (0,4)^3 = (a - 0,4)(a^2 + a \cdot 0,4 + (0,4)^2) = (a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.
Полное разложение на множители:
$a^2(a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.
Ответ: $a^2(a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.

г) Для выражения $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение примет вид: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.
Вынесем за скобки общий множитель $y^5$.
$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$.
Выражение в скобках $y^2 - \frac{16}{9}$ — это разность квадратов, так как $y^2 = (y)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$y^2 - \frac{16}{9} = y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Окончательный вид произведения:
$y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.

1026. Представьте в виде произведения:

а) $2x^8 - 12x^4 + 18$

Для начала вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:

$2x^8 - 12x^4 + 18 = 2(x^8 - 6x^4 + 9)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^8 - 6x^4 + 9$. Этот трехчлен является полным квадратом. Его можно представить с помощью формулы квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = x^4$ и $b = 3$. Тогда:

$a^2 = (x^4)^2 = x^8$

$b^2 = 3^2 = 9$

Удвоенное произведение $2ab$ равно $2 \cdot x^4 \cdot 3 = 6x^4$.

Таким образом, $x^8 - 6x^4 + 9 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 3 + 3^2 = (x^4 - 3)^2$.

Подставляя это обратно в исходное выражение, получаем:

$2(x^4 - 3)^2$

Ответ: $2(x^4 - 3)^2$.

б) $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2$

Вынесем общий множитель -2 за скобки:

$-2a^6 - 8a^3b - 8b^2 = -2(a^6 + 4a^3b + 4b^2)$

Выражение в скобках $a^6 + 4a^3b + 4b^2$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае, пусть первый член равен $a^3$, а второй член равен $2b$. Проверим:

Квадрат первого члена: $(a^3)^2 = a^6$.

Квадрат второго члена: $(2b)^2 = 4b^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot a^3 \cdot 2b = 4a^3b$.

Все члены совпадают, значит $a^6 + 4a^3b + 4b^2 = (a^3 + 2b)^2$.

В результате получаем:

$-2(a^3 + 2b)^2$

Ответ: $-2(a^3 + 2b)^2$.

в) $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 = b(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4)$

Выражение в скобках $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Пусть $x = a^2$ и $y = 3b^2$. Проверим:

$x^2 = (a^2)^2 = a^4$

$y^2 = (3b^2)^2 = 9b^4$

Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 = 6a^2b^2$.

Таким образом, $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4 = (a^2 + 3b^2)^2$.

В итоге получаем:

$b(a^2 + 3b^2)^2$

Ответ: $b(a^2 + 3b^2)^2$.

г) $4x + 4xy^6 + xy^{12}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x + 4xy^6 + xy^{12} = x(4 + 4y^6 + y^{12})$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы было удобнее распознать формулу: $x(y^{12} + 4y^6 + 4)$.

Выражение в скобках $y^{12} + 4y^6 + 4$ является полным квадратом суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = y^6$ и $b = 2$. Проверим:

$a^2 = (y^6)^2 = y^{12}$

$b^2 = 2^2 = 4$

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot y^6 \cdot 2 = 4y^6$.

Следовательно, $y^{12} + 4y^6 + 4 = (y^6 + 2)^2$.

Окончательный вид произведения:

$x(y^6 + 2)^2$

Ответ: $x(y^6 + 2)^2$.

1027. Разложите на множители:
а) 70а − 84b + 20аb − 24b²;
б) 21bс² − 6с − 3с³ + 42b;
в) 12у − 9у² + 36 − 3х²y;
г) 30а³ − 18a²b − 72b + 120а.

а) $70a - 84b + 20ab - 24b^2$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(70a - 84b) + (20ab - 24b^2)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Для первой скобки общим множителем является $14$, так как НОД(70, 84) = 14. Для второй скобки общим множителем является $4b$, так как НОД(20, 24) = 4, и в каждом члене есть переменная $b$.

$14(5a - 6b) + 4b(5a - 6b)$

Теперь у нас есть общий множитель в виде скобки $(5a - 6b)$. Вынесем его:

$(5a - 6b)(14 + 4b)$

Во второй скобке $(14 + 4b)$ можно вынести общий множитель $2$:

$2(7 + 2b)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2(5a - 6b)(7 + 2b)$

Ответ: $2(5a - 6b)(7 + 2b)$

б) $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$

Для удобства сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(21bc^2 + 42b) + (-6c - 3c^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $21b$. Из второй скобки вынесем $-3c$.

$21b(c^2 + 2) - 3c(2 + c^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(c^2 + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(c^2 + 2)(21b - 3c)$

Во второй скобке $(21b - 3c)$ также есть общий множитель $3$. Вынесем его:

$3(7b - c)$

Собираем все вместе:

$3(c^2 + 2)(7b - c)$

Ответ: $3(c^2 + 2)(7b - c)$

в) $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с третьим, а второе с четвертым:

$(12y + 36) + (-9x^2 - 3x^2y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $12$. Из второй скобки вынесем $-3x^2$.

$12(y + 3) - 3x^2(3 + y)$

Общий множитель здесь — это $(y + 3)$. Вынесем его:

$(y + 3)(12 - 3x^2)$

Во второй скобке $(12 - 3x^2)$ есть общий множитель $3$:

$3(4 - x^2)$

Выражение принимает вид: $3(y + 3)(4 - x^2)$.

Скобка $(4 - x^2)$ является разностью квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$), где $a=2$ и $b=x$. Разложим ее на множители:

$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Окончательное разложение:

$3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

г) $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов многочлена. Коэффициенты 30, 18, 72, 120 делятся на 6. НОД(30, 18, 72, 120) = 6.

$6(5a^3 - 3a^2b - 12b + 20a)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$5a^3 + 20a - 3a^2b - 12b$

Сгруппируем их:

$(5a^3 + 20a) + (-3a^2b - 12b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $5a$. Из второй скобки вынесем $-3b$.

$5a(a^2 + 4) - 3b(a^2 + 4)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 + 4)$:

$(a^2 + 4)(5a - 3b)$

Не забудем про множитель $6$, который мы вынесли в самом начале. Окончательный вид выражения:

$6(a^2 + 4)(5a - 3b)$

Ответ: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$

1028. Преобразуйте в произведение:

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$ (3a^3 - 3ab^2) + (a^2b - b^3) $

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$ 3a(a^2 - b^2) + b(a^2 - b^2) $

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$ (a^2 - b^2)(3a + b) $

Выражение $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ (a - b)(a + b)(3a + b) $

Ответ: $(a - b)(a + b)(3a + b)$.

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители:

$ (2x - 2a^2x) + (y - a^2y) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 2x(1 - a^2) + y(1 - a^2) $

Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:

$ (1 - a^2)(2x + y) $

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к выражению $(1 - a^2)$:

$ (1 - a)(1 + a)(2x + y) $

Ответ: $(1 - a)(1 + a)(2x + y)$.

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2$

Перегруппируем слагаемые:

$ (3p - 3c^3p) + (2 - 2c^3) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 3p(1 - c^3) + 2(1 - c^3) $

Вынесем общий множитель $(1 - c^3)$ за скобки:

$ (1 - c^3)(3p + 2) $

К выражению $(1 - c^3)$ применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$ (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2)(3p + 2) = (1 - c)(1 + c + c^2)(3p + 2) $

Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)(3p + 2)$.

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3$

Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их:

$ a^4 - 3a^3 + 8a - 24 = (a^4 - 3a^3) + (8a - 24) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ a^3(a - 3) + 8(a - 3) $

Вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:

$ (a - 3)(a^3 + 8) $

Выражение $(a^3 + 8)$ является суммой кубов. Применим формулу $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$ (a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4) $

Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

1029. Решите уравнение:
а) x³ + 3x² − 4x − 12 = 0;
б) 2m³ − m² − 18m + 9 = 0;
в) y³ − 6y² = 6 −y;
г) 2a³ + 3a² = 2a + 3.

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $-3; -2; 2$.

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0$

Решим это уравнение методом группировки. Сгруппируем слагаемые:

$(2m^3 - m^2) + (-18m + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2m - 1)$:

$(2m - 1)(m^2 - 9) = 0$

Второй множитель $(m^2 - 9)$ также является разностью квадратов:

$(2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

$2m - 1 = 0 \Rightarrow 2m = 1 \Rightarrow m_1 = \frac{1}{2}$

$m - 3 = 0 \Rightarrow m_2 = 3$

$m + 3 = 0 \Rightarrow m_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$.

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0$

Применим метод группировки:

$(y^3 - 6y^2) + (y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$y^2(y - 6) + 1(y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 6)$:

$(y - 6)(y^2 + 1) = 0$

Теперь рассмотрим каждый множитель:

1) $y - 6 = 0 \Rightarrow y_1 = 6$

2) $y^2 + 1 = 0 \Rightarrow y^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $6$.

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0$

Воспользуемся методом группировки:

$(2a^3 + 3a^2) - (2a + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$a^2(2a + 3) - 1(2a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2a + 3)$:

$(2a + 3)(a^2 - 1) = 0$

Множитель $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов:

$(2a + 3)(a - 1)(a + 1) = 0$

Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:

$2a + 3 = 0 \Rightarrow 2a = -3 \Rightarrow a_1 = -\frac{3}{2}$

$a - 1 = 0 \Rightarrow a_2 = 1$

$a + 1 = 0 \Rightarrow a_3 = -1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; -1; 1$.

1030. Решите уравнение:
а) x³ − 2x² − x + 2 = 0;
б) y³ − y² = 16y − 16;
в) 2y³ − y² − 32y + 16 = 0;
г) 4x³ − 3x² = 4x − 3.

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) + (-x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 1; 2$.

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 - y^2) + (-16y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 1; 4$.

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2y^3 - y^2) + (-32y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2y - 1)$ за скобки:

$(2y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y_1 = 0.5$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 0.5; 4$.

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^3 - 3x^2) + (-4x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:

$(4x - 3)(x^2 - 1) = 0$

Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов:

$(4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{4} = 0.75$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0.75; 1$.

1031. Разложите на множители:

а) $x^2 - y^2 - 1,5(x - y)$
Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для выражения $x^2 - y^2$.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(x - y)(x + y) - 1,5(x - y)$.
Теперь можно вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)((x + y) - 1,5) = (x - y)(x + y - 1,5)$.
Ответ: $(x - y)(x + y - 1,5)$

б) $x^2 - a^2 + 0,5(x + a)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - a^2$:
$x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$.
Подставим в исходное выражение:
$(x - a)(x + a) + 0,5(x + a)$.
Вынесем общий множитель $(x + a)$ за скобки:
$(x + a)((x - a) + 0,5) = (x + a)(x - a + 0,5)$.
Ответ: $(x + a)(x - a + 0,5)$

в) $4a^2 - b^2 - 2a + b$
Сгруппируем слагаемые: $(4a^2 - b^2) + (-2a + b)$.
Первую группу разложим по формуле разности квадратов: $4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$.
Во второй группе вынесем $-1$ за скобки: $-(2a - b)$.
Получим выражение: $(2a - b)(2a + b) - (2a - b)$.
Вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:
$(2a - b)((2a + b) - 1) = (2a - b)(2a + b - 1)$.
Ответ: $(2a - b)(2a + b - 1)$

г) $p^2 - 16c^2 - p - 4c$
Сгруппируем слагаемые: $(p^2 - 16c^2) + (-p - 4c)$.
Применим формулу разности квадратов к первой группе: $p^2 - 16c^2 = p^2 - (4c)^2 = (p - 4c)(p + 4c)$.
Во второй группе вынесем $-1$ за скобки: $-(p + 4c)$.
Получим выражение: $(p - 4c)(p + 4c) - (p + 4c)$.
Вынесем общий множитель $(p + 4c)$ за скобки:
$(p + 4c)((p - 4c) - 1) = (p + 4c)(p - 4c - 1)$.
Ответ: $(p + 4c)(p - 4c - 1)$

д) $a^2 + 6a + 6b - b^2$
Сгруппируем слагаемые для применения формул: $(a^2 - b^2) + (6a + 6b)$.
Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Во второй группе вынесем общий множитель 6: $6(a + b)$.
Получим выражение: $(a - b)(a + b) + 6(a + b)$.
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)((a - b) + 6) = (a + b)(a - b + 6)$.
Ответ: $(a + b)(a - b + 6)$

е) $x^2 - 7x + 7y - y^2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - y^2) + (-7x + 7y)$.
Применим формулу разности квадратов к первой группе: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-7$: $-7(x - y)$.
Получим выражение: $(x - y)(x + y) - 7(x - y)$.
Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)((x + y) - 7) = (x - y)(x + y - 7)$.
Ответ: $(x - y)(x + y - 7)$

1032. Представьте в виде произведения:
а) х²(х + 2у) − х − 2у;
б) х²(2у − 5) − 8у + 20;
в) а³ − 5а² − 4а + 20;
г) х³ − 4х² − 9х + 36.

а) Чтобы представить выражение $x^2(x + 2y) - x - 2y$ в виде произведения, сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки $-1$:
$x^2(x + 2y) - (x + 2y)$
Теперь мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + 2y)(x^2 - 1)$
Выражение в скобках $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$
Ответ: $(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$

б) В выражении $x^2(2y - 5) - 8y + 20$ сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки общий множитель $-4$:
$x^2(2y - 5) - 4(2y - 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(2y - 5)$ за скобки:
$(2y - 5)(x^2 - 4)$
Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов $x^2 - 2^2$. Применим формулу разности квадратов:
$(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$
Ответ: $(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$

в) Для разложения на множители выражения $a^3 - 5a^2 - 4a + 20$ используем метод группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена:
$(a^3 - 5a^2) + (-4a + 20)$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$a^2(a - 5) - 4(a - 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки:
$(a - 5)(a^2 - 4)$
Выражение $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:
$(a - 5)(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $(a - 5)(a - 2)(a + 2)$

г) Разложим на множители выражение $x^3 - 4x^2 - 9x + 36$ методом группировки:
$(x^3 - 4x^2) + (-9x + 36)$
Вынесем из первой группы $x^2$, а из второй $-9$:
$x^2(x - 4) - 9(x - 4)$
Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:
$(x - 4)(x^2 - 9)$
Выражение $(x^2 - 9)$ — это разность квадратов $x^2 - 3^2$. Разложим его по формуле:
$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$
Ответ: $(x - 4)(x - 3)(x + 3)$

1033. Разложите на множители:
а) а² − b² + 2(а + b)²;
б)b² − с² − 10(b − с)²;
в) 2(х − y)² + 3х² − 3y²;
г) 5а² − 5 − 4(а + 1)².

а) $a^2 - b^2 + 2(a + b)^2$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a - b)(a + b) + 2(a + b)^2$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:

$(a + b) \cdot ((a - b) + 2(a + b))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$(a - b) + 2(a + b) = a - b + 2a + 2b = (a + 2a) + (-b + 2b) = 3a + b$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(a + b)(3a + b)$

Ответ: $(a + b)(3a + b)$

б) $b^2 - c^2 - 10(b - c)^2$

Сначала применим формулу разности квадратов к выражению $b^2 - c^2$: $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$.

Заменим $b^2 - c^2$ в исходном выражении:

$(b - c)(b + c) - 10(b - c)^2$

Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c) \cdot ((b + c) - 10(b - c))$

Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:

$(b + c) - 10(b - c) = b + c - 10b + 10c = (b - 10b) + (c + 10c) = -9b + 11c = 11c - 9b$

В результате получаем следующее разложение:

$(b - c)(11c - 9b)$

Ответ: $(b - c)(11c - 9b)$

в) $2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2$

В выражении $3x^2 - 3y^2$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - y^2)$.

Далее применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Тогда $3x^2 - 3y^2 = 3(x - y)(x + y)$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$2(x - y)^2 + 3(x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y) \cdot (2(x - y) + 3(x + y))$

Упростим выражение во второй скобке:

$2(x - y) + 3(x + y) = 2x - 2y + 3x + 3y = (2x + 3x) + (-2y + 3y) = 5x + y$

Окончательный вид разложения на множители:

$(x - y)(5x + y)$

Ответ: $(x - y)(5x + y)$

г) $5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2$

Сначала преобразуем выражение $5a^2 - 5$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5(a^2 - 1)$

Используем формулу разности квадратов для $a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$.

Таким образом, $5a^2 - 5 = 5(a - 1)(a + 1)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$5(a - 1)(a + 1) - 4(a + 1)^2$

Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1) \cdot (5(a - 1) - 4(a + 1))$

Упростим выражение во второй скобке:

$5(a - 1) - 4(a + 1) = 5a - 5 - (4a + 4) = 5a - 5 - 4a - 4 = (5a - 4a) + (-5 - 4) = a - 9$

В результате получаем разложение на множители:

$(a + 1)(a - 9)$

Ответ: $(a + 1)(a - 9)$