Страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1041. Является ли уравнение с двумя переменными линейным:

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Ключевые признаки линейного уравнения:

• Переменные ($x$ и $y$) входят в уравнение только в первой степени.
• В уравнении отсутствует произведение переменных ($xy$).

Проанализируем каждое уравнение:

Уравнение $3x - y = 17$ полностью соответствует определению линейного уравнения. Его можно представить в стандартном виде $ax + by = c$, где $a = 3$, $b = -1$ и $c = 17$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени.

Ответ: да, является.

Уравнение $x^2 - 2y = 5$ не является линейным, поскольку переменная $x$ находится во второй степени ($x^2$). Это нарушает основное условие для линейных уравнений, где все переменные должны быть в первой степени.

Ответ: нет, не является.

Уравнение $13x + 6y = 0$ является линейным. Оно представлено в стандартном виде $ax + by = c$, где $a = 13$, $b = 6$ и $c = 0$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени.

Ответ: да, является.

Уравнение $xy + 2x = 9$ не является линейным, так как оно содержит член $xy$, который является произведением переменных. В линейных уравнениях такое недопустимо.

Ответ: нет, не является.

1042. Является ли пара чисел х = 157 и у = 427решением уравнения х + у = 6? Укажите ещё два решения этого уравнения.

Является ли пара чисел $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ решением уравнения $x + y = 6$?

Для того чтобы проверить, является ли указанная пара чисел решением уравнения, необходимо подставить значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения и сравнить результат с правой частью.

Подставляем $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ в выражение $x + y$:
$1\frac{5}{7} + 4\frac{2}{7}$

Сложим целые и дробные части смешанных чисел по отдельности:

Сложение целых частей: $1 + 4 = 5$.
Сложение дробных частей: $\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5+2}{7} = \frac{7}{7} = 1$.

Теперь сложим полученные результаты: $5 + 1 = 6$.

Результат вычисления левой части уравнения ($6$) равен его правой части ($6$). Следовательно, пара чисел является решением уравнения.

Ответ: да, является.

Укажите ещё два решения этого уравнения.

Уравнение $x + y = 6$ является линейным уравнением с двумя переменными и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти какое-либо решение, можно задать произвольное значение одной переменной и вычислить значение другой.

Первое дополнительное решение:
Пусть $x = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$2 + y = 6$
$y = 6 - 2$
$y = 4$
Таким образом, пара чисел $x = 2$ и $y = 4$ является решением.

Второе дополнительное решение:
Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 + y = 6$
$y = 6$
Таким образом, пара чисел $x = 0$ и $y = 6$ является решением.

Ответ: например, $x=2, y=4$ и $x=0, y=6$.

1043. Пары значений переменных х и у указаны в таблице:

Какие из них являются решениями уравнения:
а) 2х + у = −5;
б) х + 3у = −5?

Для того чтобы определить, какие из пар $(x, y)$ являются решениями уравнений, необходимо подставить значения переменных из таблицы в каждое уравнение и проверить, обращается ли оно в верное равенство.

а) 2x + y = -5;

Последовательно подставляем пары значений $(x, y)$ из таблицы в уравнение $2x + y = -5$:

• Для пары $(-5, 0)$: $2 \cdot (-5) + 0 = -10 + 0 = -10$. Равенство $-10 = -5$ неверно.

• Для пары $(-4, 3)$: $2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно. Эта пара является решением.

• Для пары $(-3, 4)$: $2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2$. Равенство $-2 = -5$ неверно.

• Для пары $(-1, -3)$: $2 \cdot (-1) + (-3) = -2 - 3 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно. Эта пара является решением.

• Для пары $(0, -5)$: $2 \cdot 0 + (-5) = 0 - 5 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно. Эта пара является решением.

• Для пары $(4, -3)$: $2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

• Для пары $(5, 0)$: $2 \cdot 5 + 0 = 10$. Равенство $10 = -5$ неверно.

Ответ: $(-4, 3)$, $(-1, -3)$, $(0, -5)$.

б) x + 3y = -5?

Теперь подставляем те же пары значений в уравнение $x + 3y = -5$:

• Для пары $(-5, 0)$: $(-5) + 3 \cdot 0 = -5 + 0 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно. Эта пара является решением.

• Для пары $(-4, 3)$: $(-4) + 3 \cdot 3 = -4 + 9 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

• Для пары $(-3, 4)$: $(-3) + 3 \cdot 4 = -3 + 12 = 9$. Равенство $9 = -5$ неверно.

• Для пары $(-1, -3)$: $(-1) + 3 \cdot (-3) = -1 - 9 = -10$. Равенство $-10 = -5$ неверно.

• Для пары $(0, -5)$: $0 + 3 \cdot (-5) = -15$. Равенство $-15 = -5$ неверно.

• Для пары $(4, -3)$: $4 + 3 \cdot (-3) = 4 - 9 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно. Эта пара является решением.

• Для пары $(5, 0)$: $5 + 3 \cdot 0 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

Ответ: $(-5, 0)$, $(4, -3)$.

1044. Является ли решением уравнения 10х + у = 12 пара чисел (3; −20), (−2; 12), (0,1; 11), (1; 2), (2; 1)?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения $10x + y = 12$, необходимо подставить в него соответствующие значения $x$ и $y$ из каждой пары. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то пара является решением.

(3; –20)

Подставляем $x = 3$ и $y = -20$ в уравнение:

$10 \cdot 3 + (-20) = 30 - 20 = 10$

Полученное значение не равно 12 ($10 \neq 12$), следовательно, пара чисел не является решением.

Ответ: нет.

(–2; 12)

Подставляем $x = -2$ и $y = 12$ в уравнение:

$10 \cdot (-2) + 12 = -20 + 12 = -8$

Полученное значение не равно 12 ($-8 \neq 12$), следовательно, пара чисел не является решением.

Ответ: нет.

(0,1; 11)

Подставляем $x = 0,1$ и $y = 11$ в уравнение:

$10 \cdot 0,1 + 11 = 1 + 11 = 12$

Полученное значение равно 12 ($12 = 12$), следовательно, пара чисел является решением.

Ответ: да.

(1; 2)

Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в уравнение:

$10 \cdot 1 + 2 = 10 + 2 = 12$

Полученное значение равно 12 ($12 = 12$), следовательно, пара чисел является решением.

Ответ: да.

(2; 1)

Подставляем $x = 2$ и $y = 1$ в уравнение:

$10 \cdot 2 + 1 = 20 + 1 = 21$

Полученное значение не равно 12 ($21 \neq 12$), следовательно, пара чисел не является решением.

Ответ: нет.

1045. Составьте какое−нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:
а) х = 2, у = 4,5;
б) х = −1, у = 2.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ — это $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

Чтобы составить такое уравнение, для которого заданная пара чисел $(x, y)$ является решением, можно выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (хотя бы один из них не должен быть равен нулю), подставить значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения $ax + by$ и вычислить соответствующее значение $c$. Существует бесконечно много таких уравнений для каждой пары чисел.

а)

Дана пара чисел $x=2$, $y=4,5$.

Выберем произвольные коэффициенты, например, $a=1$ и $b=2$. Такой выбор удобен, так как позволит избавиться от дробного числа в расчетах.

Теперь найдем значение $c$, подставив $x=2$ и $y=4,5$ в выражение $ax+by$:

$c = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4,5 = 2 + 9 = 11$

Таким образом, мы получаем искомое линейное уравнение: $x + 2y = 11$.

Сделаем проверку, подставив пару чисел $(2; 4,5)$ в полученное уравнение:

$2 + 2 \cdot 4,5 = 11$

$2 + 9 = 11$

$11 = 11$

Равенство верное, следовательно, уравнение составлено правильно.

Ответ: например, $x + 2y = 11$.

б)

Дана пара чисел $x=-1$, $y=2$.

Выберем самые простые коэффициенты: $a=1$ и $b=1$.

Найдем значение $c$, подставив $x=-1$ и $y=2$ в выражение $ax+by$:

$c = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -1 + 2 = 1$

Получаем линейное уравнение: $x + y = 1$.

Сделаем проверку, подставив пару чисел $(-1; 2)$ в полученное уравнение:

$(-1) + 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, уравнение составлено правильно.

Ответ: например, $x + y = 1$.

1046. Из линейного уравнения 4х − 3у = 12 выразите:
а) у через х;
б) х через у.

а) Чтобы выразить переменную y через переменную x из уравнения $4x - 3y = 12$, необходимо изолировать y в одной из частей уравнения.

1. Сначала перенесем слагаемое, не содержащее y, в правую часть уравнения. Вычтем $4x$ из обеих частей:

$4x - 3y - 4x = 12 - 4x$

$-3y = 12 - 4x$

2. Теперь, чтобы выразить y, разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на $-3$:

$y = \frac{12 - 4x}{-3}$

3. Упростим полученное выражение. Для этого можно поменять знаки у всех членов в числителе и знаменателе (что эквивалентно умножению дроби на $\frac{-1}{-1}$):

$y = \frac{-(12 - 4x)}{-(-3)} = \frac{-12 + 4x}{3} = \frac{4x - 12}{3}$

4. Для удобства можно представить результат в виде линейной функции $y = kx + b$, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{4x}{3} - \frac{12}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - 4$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - 4$

б) Чтобы выразить переменную x через переменную y из того же уравнения $4x - 3y = 12$, необходимо изолировать x.

1. Сначала перенесем слагаемое, не содержащее x, в правую часть уравнения. Прибавим $3y$ к обеим частям:

$4x - 3y + 3y = 12 + 3y$

$4x = 12 + 3y$

2. Теперь, чтобы выразить x, разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на $4$:

$x = \frac{12 + 3y}{4}$

3. Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$x = \frac{12}{4} + \frac{3y}{4}$

$x = 3 + \frac{3}{4}y$

Обычно слагаемое с переменной ставят на первое место:

$x = \frac{3}{4}y + 3$

Ответ: $x = \frac{3}{4}y + 3$

1047. Из уравнения 2u + v = 4 выразите:
а) переменную v через u;
б) переменную u через v.

а) переменную v через u;
Исходное уравнение: $2u + v = 4$.
Чтобы выразить переменную $v$ через $u$, необходимо изолировать $v$ в одной части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $2u$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.
$v = 4 - 2u$
Таким образом, переменная $v$ выражена через $u$.
Ответ: $v = 4 - 2u$

б) переменную u через v.
Исходное уравнение: $2u + v = 4$.
Чтобы выразить переменную $u$ через $v$, сначала изолируем слагаемое, содержащее $u$, то есть $2u$. Перенесем $v$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2u = 4 - v$
Теперь, чтобы найти $u$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $u$, то есть на 2:
$u = \frac{4 - v}{2}$
Это выражение можно также представить в виде $u = 2 - \frac{v}{2}$.
Ответ: $u = \frac{4 - v}{2}$

1048. Выразите из данного уравнения переменную у через х; используя полученную формулу, найдите три каких−либо решения этого уравнения:
а) 3x + 2y = 12;
б) 5y − 2x = 1.

а) Рассматривается уравнение $3x + 2y = 12$.

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, выполним следующие шаги. Сначала перенесем слагаемое $3x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$2y = 12 - 3x$

Далее, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 2:

$y = \frac{12 - 3x}{2}$

Эту формулу можно также представить в виде $y = 6 - 1,5x$.

Теперь, используя полученную формулу, найдём три решения уравнения. Для этого будем выбирать произвольные значения $x$ и вычислять для них соответствующие значения $y$.

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в формулу:

$y = 6 - 1,5 \cdot 0 = 6 - 0 = 6$

Таким образом, пара чисел $(0; 6)$ является решением уравнения.

2. Пусть $x = 2$. Подставим это значение в формулу:

$y = 6 - 1,5 \cdot 2 = 6 - 3 = 3$

Таким образом, пара чисел $(2; 3)$ является решением уравнения.

3. Пусть $x = 4$. Подставим это значение в формулу:

$y = 6 - 1,5 \cdot 4 = 6 - 6 = 0$

Таким образом, пара чисел $(4; 0)$ является решением уравнения.

Ответ: $y = 6 - 1,5x$; например, решениями являются пары чисел $(0; 6)$, $(2; 3)$ и $(4; 0)$.

б) Рассматривается уравнение $5y - 2x = 1$.

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, сначала перенесем слагаемое $-2x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$5y = 1 + 2x$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 5:

$y = \frac{1 + 2x}{5}$

Теперь, используя полученную формулу, найдём три решения уравнения. Для удобства будем подбирать такие значения $x$, при которых числитель $1 + 2x$ делится на 5 нацело.

1. Пусть $x = 2$. Подставим это значение в формулу:

$y = \frac{1 + 2 \cdot 2}{5} = \frac{1 + 4}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Таким образом, пара чисел $(2; 1)$ является решением уравнения.

2. Пусть $x = 7$. Подставим это значение в формулу:

$y = \frac{1 + 2 \cdot 7}{5} = \frac{1 + 14}{5} = \frac{15}{5} = 3$

Таким образом, пара чисел $(7; 3)$ является решением уравнения.

3. Пусть $x = -3$. Подставим это значение в формулу:

$y = \frac{1 + 2 \cdot (-3)}{5} = \frac{1 - 6}{5} = \frac{-5}{5} = -1$

Таким образом, пара чисел $(-3; -1)$ является решением уравнения.

Ответ: $y = \frac{1 + 2x}{5}$; например, решениями являются пары чисел $(2; 1)$, $(7; 3)$ и $(-3; -1)$.

1049. а) Выразив из уравнения х − 6у = 4 переменную х через у, найдите три каких−либо решения этого уравнения.
б) Выразив переменную у через переменную х, найдите три каких−либо решения уравнения 3х − у = 10.

а) Дано уравнение $x - 6y = 4$.

Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$, необходимо изолировать $x$ в одной части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $-6y$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$x = 4 + 6y$

Теперь, когда переменная $x$ выражена через $y$, можно найти решения уравнения. Для этого нужно выбрать любое значение для $y$ и вычислить соответствующее значение $x$. Найдем три таких решения:

1. Если $y = 0$, то $x = 4 + 6 \cdot 0 = 4$. Получаем решение $(4; 0)$.

2. Если $y = 1$, то $x = 4 + 6 \cdot 1 = 10$. Получаем решение $(10; 1)$.

3. Если $y = -1$, то $x = 4 + 6 \cdot (-1) = 4 - 6 = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Ответ: $x = 4 + 6y$; например, $(4; 0)$, $(10; 1)$, $(-2; -1)$.

б) Дано уравнение $3x - y = 10$.

Чтобы выразить переменную $y$ через переменную $x$, необходимо изолировать $y$. Сначала перенесем слагаемое $3x$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-y = 10 - 3x$

Далее, чтобы получить выражение для $y$, а не для $-y$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$y = -(10 - 3x)$
$y = -10 + 3x$
$y = 3x - 10$

Теперь найдем три решения, подставляя произвольные значения для $x$ и вычисляя соответствующие значения $y$:

1. Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 10 = -10$. Получаем решение $(0; -10)$.

2. Если $x = 4$, то $y = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$. Получаем решение $(4; 2)$.

3. Если $x = 5$, то $y = 3 \cdot 5 - 10 = 15 - 10 = 5$. Получаем решение $(5; 5)$.

Ответ: $y = 3x - 10$; например, $(0; -10)$, $(4; 2)$, $(5; 5)$.

1050. Среди решений уравнения х + 2у = 18 найдите такую пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.

Нам дано линейное уравнение с двумя переменными: $x + 2y = 18$.

Требуется найти такое решение этого уравнения, которое представляет собой пару одинаковых чисел. Это означает, что для искомой пары должно выполняться условие $x = y$.

Чтобы найти эту пару, мы можем подставить $x$ вместо $y$ (или наоборот) в исходное уравнение, используя условие $x = y$.

Заменим $y$ на $x$ в уравнении:

$x + 2(x) = 18$

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной:

$x + 2x = 18$

$3x = 18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Поскольку мы ищем пару, где $x = y$, то значение $y$ также равно 6.

Таким образом, искомая пара чисел — это $(6, 6)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x=6$ и $y=6$ в исходное уравнение:

$6 + 2 \cdot 6 = 18$

$6 + 12 = 18$

$18 = 18$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(6, 6)$.

1051. Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 2у = 8, если известно, что пара х = 2, у = 1 является решением этого уравнения.

По условию задачи, пара чисел $x=2$ и $y=1$ является решением уравнения $ax + 2y = 8$. Это означает, что если подставить данные значения переменных $x$ и $y$ в уравнение, то получится верное равенство. Выполним подстановку.

Подставим $x=2$ и $y=1$ в уравнение $ax + 2y = 8$:

$a \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8$

Теперь упростим полученное выражение:

$2a + 2 = 8$

Мы получили простое линейное уравнение относительно переменной $a$. Чтобы найти $a$, сначала перенесем слагаемое 2 из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$2a = 8 - 2$

$2a = 6$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{6}{2}$

$a = 3$

Таким образом, значение коэффициента $a$ равно 3.

Ответ: 3