Страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1070. Решите уравнение:
а) 16 − x8 − 18 − x12 = 0;
б) x − 152 − 2x + 18 = 0.

а)

Дано уравнение:

$\frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} = 0$

Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 12. НОК(8, 12) = 24. Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от дробей:

$24 \cdot (\frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12}) = 24 \cdot 0$

$\frac{24 \cdot (16 - x)}{8} - \frac{24 \cdot (18 - x)}{12} = 0$

Сократим коэффициенты перед скобками:

$3 \cdot (16 - x) - 2 \cdot (18 - x) = 0$

Теперь раскроем скобки:

$3 \cdot 16 - 3 \cdot x - 2 \cdot 18 - 2 \cdot (-x) = 0$

$48 - 3x - 36 + 2x = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $x$ и свободные члены.

$(-3x + 2x) + (48 - 36) = 0$

$-x + 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-x = -12$

Умножим обе части на -1, чтобы найти значение $x$:

$x = 12$

Ответ: $x = 12$.

б)

Дано уравнение:

$\frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 = 0$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. НОК(2, 8) = 8. Умножим все члены уравнения на 8:

$8 \cdot (\frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1) = 8 \cdot 0$

$8 \cdot \frac{x - 15}{2} - 8 \cdot \frac{2x + 1}{8} + 8 \cdot 1 = 0$

Сократим дроби:

$4 \cdot (x - 15) - 1 \cdot (2x + 1) + 8 = 0$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью применяется ко всему числителю $(2x+1)$:

$4x - 60 - 2x - 1 + 8 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x - 2x) + (-60 - 1 + 8) = 0$

$2x - 53 = 0$

Перенесем -53 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 53$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{53}{2}$

$x = 26.5$

Ответ: $x = 26.5$.

1071. Найдите значение выражения:
а) а(а − 4) − (а + 4)² при а = −114;
б) (2а − 5)² − 4(а − 1)(3 + а) при а = 112.

а) $a(a - 4) - (a + 4)?$ при $a = -1\frac{1}{4}$

Для начала упростим данное алгебраическое выражение, раскрыв скобки. Первую скобку раскроем умножением, а для второй используем формулу квадрата суммы $(x+y)? = x?+2xy+y?$.

$a(a - 4) - (a + 4)? = (a \cdot a - a \cdot 4) - (a? + 2 \cdot a \cdot 4 + 4?) = (a? - 4a) - (a? + 8a + 16)$

Теперь раскроем вторые скобки, не забывая поменять знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$a? - 4a - a? - 8a - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$(a? - a?) + (-4a - 8a) - 16 = 0 - 12a - 16 = -12a - 16$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $a = -1\frac{1}{4}$. Предварительно переведем смешанное число в неправильную дробь:

$a = -1\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{5}{4}$

Выполним вычисление:

$-12a - 16 = -12 \cdot (-\frac{5}{4}) - 16 = \frac{12 \cdot 5}{4} - 16 = 3 \cdot 5 - 16 = 15 - 16 = -1$

Ответ: -1

б) $(2a - 5)? - 4(a - 1)(3 + a)$ при $a = \frac{1}{12}$

Сначала упростим выражение. Для первого слагаемого применим формулу квадрата разности $(x-y)? = x?-2xy+y?$. Для второго слагаемого раскроем скобки.

$(2a - 5)? = (2a)? - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5? = 4a? - 20a + 25$

Теперь упростим вторую часть выражения:

$-4(a - 1)(3 + a) = -4(a \cdot 3 + a \cdot a - 1 \cdot 3 - 1 \cdot a) = -4(3a + a? - 3 - a) = -4(a? + 2a - 3)$

Распределим множитель $-4$ на слагаемые в скобках:

$-4a? - 4 \cdot 2a - 4 \cdot (-3) = -4a? - 8a + 12$

Теперь объединим обе упрощенные части:

$(4a? - 20a + 25) + (-4a? - 8a + 12) = 4a? - 20a + 25 - 4a? - 8a + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a? - 4a?) + (-20a - 8a) + (25 + 12) = 0 - 28a + 37 = -28a + 37$

Подставим значение $a = \frac{1}{12}$ в полученное упрощенное выражение:

$-28 \cdot \frac{1}{12} + 37 = -\frac{28}{12} + 37$

Сократим дробь $-\frac{28}{12}$ на 4:

$-\frac{28 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{7}{3}$

Теперь выполним сложение. Для этого приведем число 37 к дроби со знаменателем 3:

$-\frac{7}{3} + 37 = -\frac{7}{3} + \frac{37 \cdot 3}{3} = -\frac{7}{3} + \frac{111}{3} = \frac{-7 + 111}{3} = \frac{104}{3}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{104}{3} = 34\frac{2}{3}$

Ответ: $34\frac{2}{3}$