Номер 1025, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1025, страница 199.

1025. Преобразуйте в произведение выражение:
а) 9с¹⁵ − с¹³; б) х²² − 149x²⁰; в) а⁵ − 0,064а²; г) у⁷ − 179у⁵.

а) Для преобразования выражения $9c^{15} - c^{13}$ в произведение, сначала вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для $c^{15}$ и $c^{13}$ является $c^{13}$ (младшая степень).
$9c^{15} - c^{13} = c^{13}(9c^{15-13} - 1) = c^{13}(9c^2 - 1)$.
Выражение в скобках $9c^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, так как $9c^2 = (3c)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$9c^2 - 1 = (3c)^2 - 1^2 = (3c - 1)(3c + 1)$.
Подставляем полученное разложение обратно в выражение:
$c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$.
Ответ: $c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$.

б) В выражении $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20}$ вынесем за скобки общий множитель $x^{20}$ (младшая степень $x$).
$x^{22} - \frac{1}{49}x^{20} = x^{20}(x^{22-20} - \frac{1}{49}) = x^{20}(x^2 - \frac{1}{49})$.
Выражение в скобках $x^2 - \frac{1}{49}$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - \frac{1}{49} = x^2 - (\frac{1}{7})^2 = (x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.
Итоговое выражение в виде произведения:
$x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.
Ответ: $x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$.

в) В выражении $a^5 - 0,064a^2$ вынесем за скобки общий множитель $a^2$.
$a^5 - 0,064a^2 = a^2(a^{5-2} - 0,064) = a^2(a^3 - 0,064)$.
Выражение в скобках $a^3 - 0,064$ является разностью кубов, так как $a^3 = (a)^3$ и $0,064 = 0,4^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
$a^3 - 0,064 = a^3 - (0,4)^3 = (a - 0,4)(a^2 + a \cdot 0,4 + (0,4)^2) = (a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.
Полное разложение на множители:
$a^2(a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.
Ответ: $a^2(a - 0,4)(a^2 + 0,4a + 0,16)$.

г) Для выражения $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение примет вид: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.
Вынесем за скобки общий множитель $y^5$.
$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$.
Выражение в скобках $y^2 - \frac{16}{9}$ — это разность квадратов, так как $y^2 = (y)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$y^2 - \frac{16}{9} = y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Окончательный вид произведения:
$y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.