Номер 1031, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1031, страница 199.

Условие.

1031. Разложите на множители:

а) x² − y² − 1,5(x − y);
б) x² − a² + 0,5(x + a);
в) 4a² − b² − 2a + b;

г) p² − 16c² − p − 4c;
д) a² + 6a + 6b − b²;
е) x² − 7x + 7y − y².

Решение 1.

а) x² − y² − 1,5(x − y) =
= (x - y) (x + y) - 1,5(x - y) =
= (x - y) (x + y - 1,5);

б) x² − a² + 0,5(x + a) =
= (x - a) (x + a) + 0,5(x + a) =
= (x + a) (x - a + 0,5);

в) 4a² − b² − 2a + b =
= (2a - b) (2a + b) - (2a - b) =
= (2a - b) (2a + b - 1);

г) p² − 16c² − p − 4c =
= (p - 4c) (p + 4c) - (p + 4c) =
= (p + 4c) (p - 4c - 1);

д) a² + 6a + 6b − b² =
= (a² - b²) + (6a + 6b) =
= (a - b) (a + b) + 6(a + b) =
= (a + b) (a - b + 6);

е) x² − 7x + 7y − y² =
= (x² - y²) - (7x - 7y) =
= (x - y) (x + y) - 7(x - y) =
= (x - y) (x + y - 7).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - y^2 - 1,5(x - y)$
Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для выражения $x^2 - y^2$.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(x - y)(x + y) - 1,5(x - y)$.
Теперь можно вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)((x + y) - 1,5) = (x - y)(x + y - 1,5)$.
Ответ: $(x - y)(x + y - 1,5)$

б) $x^2 - a^2 + 0,5(x + a)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - a^2$:
$x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$.
Подставим в исходное выражение:
$(x - a)(x + a) + 0,5(x + a)$.
Вынесем общий множитель $(x + a)$ за скобки:
$(x + a)((x - a) + 0,5) = (x + a)(x - a + 0,5)$.
Ответ: $(x + a)(x - a + 0,5)$

в) $4a^2 - b^2 - 2a + b$
Сгруппируем слагаемые: $(4a^2 - b^2) + (-2a + b)$.
Первую группу разложим по формуле разности квадратов: $4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$.
Во второй группе вынесем $-1$ за скобки: $-(2a - b)$.
Получим выражение: $(2a - b)(2a + b) - (2a - b)$.
Вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:
$(2a - b)((2a + b) - 1) = (2a - b)(2a + b - 1)$.
Ответ: $(2a - b)(2a + b - 1)$

г) $p^2 - 16c^2 - p - 4c$
Сгруппируем слагаемые: $(p^2 - 16c^2) + (-p - 4c)$.
Применим формулу разности квадратов к первой группе: $p^2 - 16c^2 = p^2 - (4c)^2 = (p - 4c)(p + 4c)$.
Во второй группе вынесем $-1$ за скобки: $-(p + 4c)$.
Получим выражение: $(p - 4c)(p + 4c) - (p + 4c)$.
Вынесем общий множитель $(p + 4c)$ за скобки:
$(p + 4c)((p - 4c) - 1) = (p + 4c)(p - 4c - 1)$.
Ответ: $(p + 4c)(p - 4c - 1)$

д) $a^2 + 6a + 6b - b^2$
Сгруппируем слагаемые для применения формул: $(a^2 - b^2) + (6a + 6b)$.
Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Во второй группе вынесем общий множитель 6: $6(a + b)$.
Получим выражение: $(a - b)(a + b) + 6(a + b)$.
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)((a - b) + 6) = (a + b)(a - b + 6)$.
Ответ: $(a + b)(a - b + 6)$

е) $x^2 - 7x + 7y - y^2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - y^2) + (-7x + 7y)$.
Применим формулу разности квадратов к первой группе: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-7$: $-7(x - y)$.
Получим выражение: $(x - y)(x + y) - 7(x - y)$.
Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)((x + y) - 7) = (x - y)(x + y - 7)$.
Ответ: $(x - y)(x + y - 7)$