Номер 1036, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1036, страница 200.

Условие.

1036. Представьте в виде произведения:
а) х³ + у³ + 2х² − 2ху + 2у²;
б) а³ − b³ + 3а² + 3аb + 3b²;
в) а⁴ + аb³ − а³b − b⁴;
г) х⁴ + х³у − ху³ − у⁴.

Решение 1.

а) х³ + у³ + 2х² − 2ху + 2у² =
= (x³ + y³) + (2x² - 2xy + 2y²) =
= (x + y) (x² - xy + y²) +
+ 2(x² - xy + y²) =
= (x² - xy + y²) (x + y + 2);

б) а³ − b³ + 3а² + 3аb + 3b² =
= (a³ - b³) + (3a² + 3ab + 3b²) =
= (a - b) (a² + ab + b²) +
+ 3(a² + ab + b²) =
= (a² + ab + b²) (a - b + 3);

в) а⁴ + аb³ − а³b − b⁴ =
= (a⁴ - b⁴) + (ab³ - a³b) =
= (a² - b²) (a² + b²) + ab(b² - a²) =
= (a² - b²) (a² + b²) - ab(a² - b²) =
= (a² - b²) (a² + b² - ab) =
= (a - b) (a + b) (a² + b² - ab);

г) х⁴ + х³у − ху³ − у⁴ =
= (x⁴ - y⁴) + (x³y - xy³) =
= (x² - y²) (x² + y²) + xy(x² - y²) =
= (x² - y²) (x² + y² + xy) =
= (x - y) (x + y) (x² + xy + y²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + y^3) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)$.

Разложим первую скобку по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)$

Во второй скобке вынесем общий множитель 2:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + 2(x^2 - xy + y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2-xy+y^2)$ за скобки:

$(x^2-xy+y^2)(x+y+2)$

Ответ: $(x+y+2)(x^2-xy+y^2)$

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$

Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - b^3) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)$.

Разложим первую скобку по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)$

Во второй скобке вынесем общий множитель 3:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) + 3(a^2+ab+b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2+ab+b^2)$ за скобки:

$(a^2+ab+b^2)(a-b+3)$

Ответ: $(a-b+3)(a^2+ab+b^2)$

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a-b) + b^3(a-b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(a^3+b^3)$

Разложим второй множитель по формуле суммы кубов:

$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$

Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + x^3y) - (xy^3 + y^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x+y) - y^3(x+y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)(x^3-y^3)$

Разложим второй множитель по формуле разности кубов:

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Ответ: $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)$