Номер 1038, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1038, страница 200.

Условие.

1038. Может ли выражение:
а) a² + 16a + 64 принимать отрицательные значения;
б) −b² − 25 + 10b принимать положительные значения;
в) −х² + 6х − 9 принимать неотрицательные значения;
г) (у + 10)² − 0,1 принимать отрицательные значения;
д) 0,001 − (а + 100)² принимать положительные значения?

Решение 1.

а) a² + 16a + 64 =
= (a + 8)² ≥ 0.

Ответ: нет.

б) −b² − 25 + 10b =
= -(b² - 10b + 25) =
= -(b - 5)² ≤ 0.

Ответ: нет.

в) −х² + 6х − 9 =
= -(x² - 6x + 9) =
= -(x - 3)² ≤ 0.

Ответ: может только при -(x - 3)² = 0, т.е. при x = 3.

г) (у + 10)² − 0,1;
(y + 10)² ≥ 0;
(y + 10)² - 0,1 ≥ 0 - 0,1;
(y + 10)² - 0,1 ≥ -0,1.

Ответ: может.

д) 0,001 − (а + 100)²;
(a + 100)² ≥ 0;
-(a + 100)² ≤ 0;
0,001 - (a + 100)² ≤ 0,001.

Ответ: может.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Может ли выражение $a^2+16a+64$ принимать отрицательные значения;

Рассмотрим выражение $a^2 + 16a + 64$. Заметим, что это выражение является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=8$, получаем: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a+8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a+8)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Следовательно, данное выражение не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет, не может.

б) Может ли выражение $-b^2-25+10b$ принимать положительные значения;

Рассмотрим выражение $-b^2 - 25 + 10b$. Перегруппируем слагаемые и вынесем знак минус за скобки: $-b^2 + 10b - 25 = -(b^2 - 10b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, согласно формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=b$ и $y=5$. Таким образом, $b^2 - 10b + 25 = (b-5)^2$. Исходное выражение можно записать как $-(b-5)^2$. Поскольку $(b-5)^2 \ge 0$ для любого $b$, то $-(b-5)^2 \le 0$. Это означает, что выражение всегда неположительно, то есть не может принимать положительные значения.

Ответ: нет, не может.

в) Может ли выражение $-x^2+6x-9$ принимать неотрицательные значения;

Рассмотрим выражение $-x^2 + 6x - 9$. Вынесем минус за скобки: $-(x^2 - 6x + 9)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-3)^2$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x-3)^2$. Мы знаем, что $(x-3)^2 \ge 0$, а значит $-(x-3)^2 \le 0$. Вопрос состоит в том, может ли выражение принимать неотрицательные значения (то есть значения $ \ge 0 $). Поскольку выражение всегда меньше или равно нулю, единственным неотрицательным значением, которое оно может принять, является 0. Это происходит при $x-3=0$, то есть при $x=3$. В этом случае значение выражения равно $-(3-3)^2 = 0$. Так как 0 — неотрицательное число, то выражение может принимать неотрицательные значения.

Ответ: да, может (значение 0 при $x=3$).

г) Может ли выражение $(y+10)^2-0,1$ принимать отрицательные значения;

Рассмотрим выражение $(y+10)^2 - 0,1$. Член $(y+10)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда принимает неотрицательные значения: $(y+10)^2 \ge 0$. Чтобы проверить, может ли всё выражение быть отрицательным, найдем его наименьшее возможное значение. Наименьшее значение $(y+10)^2$ равно 0, и оно достигается при $y=-10$. Подставив это значение в выражение, получим: $(-10+10)^2 - 0,1 = 0^2 - 0,1 = -0,1$. Так как -0,1 является отрицательным числом, то выражение может принимать отрицательные значения.

Ответ: да, может (например, значение -0,1 при $y=-10$).

д) Может ли выражение $0,001-(a+100)^2$ принимать положительные значения?

Рассмотрим выражение $0,001 - (a+100)^2$. Чтобы проверить, может ли оно принимать положительные значения, нужно выяснить, может ли выполняться неравенство $0,001 - (a+100)^2 > 0$. Это неравенство эквивалентно $(a+100)^2 < 0,001$. Так как $(a+100)^2$ всегда неотрицательно, нам нужно лишь найти такое $a$, чтобы значение квадрата было меньше 0,001. Наибольшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $(a+100)^2$ минимально. Минимальное значение $(a+100)^2$ равно 0 и достигается при $a=-100$. При этом значении $a$ всё выражение равно: $0,001 - (-100+100)^2 = 0,001 - 0 = 0,001$. Так как 0,001 — положительное число, выражение может принимать положительные значения.

Ответ: да, может (например, значение 0,001 при $a=-100$).