Номер 1032, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1032, страница 199.

Условие.

1032. Представьте в виде произведения:
а) х²(х + 2у) − х − 2у;
б) х²(2у − 5) − 8у + 20;
в) а³ − 5а² − 4а + 20;
г) х³ − 4х² − 9х + 36.

Решение 1.

а) х²(х + 2у) − х − 2у =
= x²(x + 2y) - (x + 2y) =
= (x + 2y) (x² - 1) =
= (x + 2y) (x - 1) (x + 1);

б) х²(2у − 5) − 8у + 20 =
= x²(2y - 5) - (8y - 20) =
= x²(2y - 5) - 4(2y - 5) =
= (2y - 5) (x² - 4) =
= (2y - 5) (x - 2) (x + 2);

в) а³ − 5а² − 4а + 20 =
= (a³ - 5a²) - (4a - 20) =
= a²(a - 5) - 4(a - 5) =
= (a - 5) (a² - 4) =
= (a - 5) (a - 2) (a + 2);

г) х³ − 4х² − 9х + 36 =
= (x³ - 4x²) - (9x - 36) =
= x²(x - 4) - 9(x - 4) =
= (x - 4) (x² - 9) =
= (x - 4) (x - 3) (x + 3).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $x^2(x + 2y) - x - 2y$ в виде произведения, сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки $-1$:
$x^2(x + 2y) - (x + 2y)$
Теперь мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + 2y)(x^2 - 1)$
Выражение в скобках $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$
Ответ: $(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$

б) В выражении $x^2(2y - 5) - 8y + 20$ сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки общий множитель $-4$:
$x^2(2y - 5) - 4(2y - 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(2y - 5)$ за скобки:
$(2y - 5)(x^2 - 4)$
Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов $x^2 - 2^2$. Применим формулу разности квадратов:
$(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$
Ответ: $(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$

в) Для разложения на множители выражения $a^3 - 5a^2 - 4a + 20$ используем метод группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена:
$(a^3 - 5a^2) + (-4a + 20)$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$a^2(a - 5) - 4(a - 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки:
$(a - 5)(a^2 - 4)$
Выражение $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:
$(a - 5)(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $(a - 5)(a - 2)(a + 2)$

г) Разложим на множители выражение $x^3 - 4x^2 - 9x + 36$ методом группировки:
$(x^3 - 4x^2) + (-9x + 36)$
Вынесем из первой группы $x^2$, а из второй $-9$:
$x^2(x - 4) - 9(x - 4)$
Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:
$(x - 4)(x^2 - 9)$
Выражение $(x^2 - 9)$ — это разность квадратов $x^2 - 3^2$. Разложим его по формуле:
$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$
Ответ: $(x - 4)(x - 3)(x + 3)$