Номер 1026, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1026, страница 199.

1026. Представьте в виде произведения:

а) 2х⁸ − 12х⁴ + 18;
б) −2а⁶ − 8а³b − 8b²;

в) а⁴b + 6а²b³ + 9b⁵;
г) 4х + 4хy⁶ + xy¹².

а) $2x^8 - 12x^4 + 18$

Для начала вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:

$2x^8 - 12x^4 + 18 = 2(x^8 - 6x^4 + 9)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^8 - 6x^4 + 9$. Этот трехчлен является полным квадратом. Его можно представить с помощью формулы квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = x^4$ и $b = 3$. Тогда:

$a^2 = (x^4)^2 = x^8$

$b^2 = 3^2 = 9$

Удвоенное произведение $2ab$ равно $2 \cdot x^4 \cdot 3 = 6x^4$.

Таким образом, $x^8 - 6x^4 + 9 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 3 + 3^2 = (x^4 - 3)^2$.

Подставляя это обратно в исходное выражение, получаем:

$2(x^4 - 3)^2$

Ответ: $2(x^4 - 3)^2$.

б) $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2$

Вынесем общий множитель -2 за скобки:

$-2a^6 - 8a^3b - 8b^2 = -2(a^6 + 4a^3b + 4b^2)$

Выражение в скобках $a^6 + 4a^3b + 4b^2$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае, пусть первый член равен $a^3$, а второй член равен $2b$. Проверим:

Квадрат первого члена: $(a^3)^2 = a^6$.

Квадрат второго члена: $(2b)^2 = 4b^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot a^3 \cdot 2b = 4a^3b$.

Все члены совпадают, значит $a^6 + 4a^3b + 4b^2 = (a^3 + 2b)^2$.

В результате получаем:

$-2(a^3 + 2b)^2$

Ответ: $-2(a^3 + 2b)^2$.

в) $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 = b(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4)$

Выражение в скобках $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Пусть $x = a^2$ и $y = 3b^2$. Проверим:

$x^2 = (a^2)^2 = a^4$

$y^2 = (3b^2)^2 = 9b^4$

Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 = 6a^2b^2$.

Таким образом, $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4 = (a^2 + 3b^2)^2$.

В итоге получаем:

$b(a^2 + 3b^2)^2$

Ответ: $b(a^2 + 3b^2)^2$.

г) $4x + 4xy^6 + xy^{12}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x + 4xy^6 + xy^{12} = x(4 + 4y^6 + y^{12})$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы было удобнее распознать формулу: $x(y^{12} + 4y^6 + 4)$.

Выражение в скобках $y^{12} + 4y^6 + 4$ является полным квадратом суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = y^6$ и $b = 2$. Проверим:

$a^2 = (y^6)^2 = y^{12}$

$b^2 = 2^2 = 4$

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot y^6 \cdot 2 = 4y^6$.

Следовательно, $y^{12} + 4y^6 + 4 = (y^6 + 2)^2$.

Окончательный вид произведения:

$x(y^6 + 2)^2$

Ответ: $x(y^6 + 2)^2$.