Номер 1019, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1019, страница 198.

Условие.

1019. Найдите значение выражения:
а) (у + 5)(у² − 5у + 25) − у(у² + 3) при у = −2;
б) х(х + 3)² − (х − 1)(х² + х + 1) при х = −4;
в) (2р − 1)(4р² + 2р + 1) − р(р − 1)(р + 1) при р = 1,5.

Решение 1.

а) (у + 5)(у² − 5у + 25) −
- у(у² + 3) = y³ + 5³ - y³ -
- 3y = 125 - 3y

при у = −2;
125 - 3 ⋅ (-2) = 125 + 6 = 131;

б) х(х + 3)² − (х − 1) ×
× (х² + х + 1) = x(x² + 6x + 9) -
- (x³ - 1) = x³ + 6x² + 9x - x³ + 1 =
= 6x² + 9x + 1

при х = −4;
6 ⋅ (-4)² + 9 ⋅ (-4) + 1 =
= 6 ⋅ 16 - 36 + 1 = 61

в) (2р − 1)(4р² + 2р + 1) −
- р(р − 1)(р + 1) = ((2p)³ - 1³) -
- p(p² - 1) = (8p³ - 1) - p³ + p =
= 7p³ + p - 1

при р = 1,5;
$7·{\left(\frac{3}{2}\right)}^3+\frac{3}{2}-1=7·\frac{27}{8}+\frac{3}{2}-1=$

$=\frac{7·27}{8}+\frac{12}{8}-1=\frac{189}{8}+\frac{12}{8}-\frac{8}{8}=$

$=\frac{193}{8}=24\frac{1}{8}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение выражения $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$ при $y = -2$, сначала упростим его.

Первая часть выражения, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25)$, является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=y$ и $b=5$.
Следовательно, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) = y^3 + 5^3 = y^3 + 125$.

Раскроем скобки во второй части выражения: $-y(y^2 + 3) = -y \cdot y^2 - y \cdot 3 = -y^3 - 3y$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(y^3 + 125) + (-y^3 - 3y) = y^3 + 125 - y^3 - 3y$.

Приведем подобные слагаемые: $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются.
Остается: $125 - 3y$.

Подставим значение $y = -2$ в упрощенное выражение:
$125 - 3(-2) = 125 + 6 = 131$.

Ответ: 131

---

б) Чтобы найти значение выражения $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$ при $x = -4$, сначала упростим его.

Рассмотрим первую часть $x(x + 3)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Теперь умножим на $x$: $x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Вторая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=x$ и $b=1$.
Следовательно, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1$.

Приведем подобные слагаемые: $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
Остается: $6x^2 + 9x + 1$.

Подставим значение $x = -4$ в упрощенное выражение:
$6(-4)^2 + 9(-4) + 1 = 6(16) - 36 + 1 = 96 - 36 + 1 = 60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

---

в) Чтобы найти значение выражения $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$ при $p = 1,5$, сначала упростим его.

Первая часть выражения, $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1)$, является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=2p$ и $b=1$.
Следовательно, $(2p - 1)((2p)^2 + 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p)^3 - 1^3 = 8p^3 - 1$.

Рассмотрим вторую часть $- p(p - 1)(p + 1)$. Выражение $(p-1)(p+1)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$(p - 1)(p + 1) = p^2 - 1^2 = p^2 - 1$.
Теперь умножим на $-p$: $-p(p^2 - 1) = -p^3 + p$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(8p^3 - 1) + (-p^3 + p) = 8p^3 - 1 - p^3 + p$.

Приведем подобные слагаемые:
$(8p^3 - p^3) + p - 1 = 7p^3 + p - 1$.

Подставим значение $p = 1,5$ (или $p = \frac{3}{2}$) в упрощенное выражение:
$7(1,5)^3 + 1,5 - 1 = 7(\frac{3}{2})^3 + \frac{3}{2} - 1 = 7(\frac{27}{8}) + \frac{3}{2} - 1$.

Выполним вычисления:
$\frac{7 \cdot 27}{8} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{189}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{8}{8} = \frac{189}{8} + \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{189 + 12 - 8}{8} = \frac{193}{8}$.

Переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{193}{8} = 24,125$.

Ответ: 24,125