Номер 1033, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1033, страница 199.

Условие.

1033. Разложите на множители:
а) а² − b² + 2(а + b)²;
б)b² − с² − 10(b − с)²;
в) 2(х − y)² + 3х² − 3y²;
г) 5а² − 5 − 4(а + 1)².

Решение 1.

а) а² − b² + 2(а + b)² =
= (a - b) (a + b) + 2(a + b)² =
= (a + b) (a - b + 2(a + b)) =
= (a + b) (a - b + 2a + 2b) =
= (a + b) (3a + b);

б) b² − с² − 10(b − с)² =
= (b - c) (b + c) - 10(b - c)² =
= (b - c) ((b + c) - 10(b - c)) =
= (b - c) (b + c - 10b + 10c) =
= (b - c) (11c - 9b);

в) 2(х − y)² + 3х² − 3y² =
= 2(x - y)² + 3(x² - y²) =
= 2(x - y)² + 3(x - y) (x + y) =
= (x - y) (2(x - y) + 3(x + y) =
= (x - y) (2x - 2y + 3x + 3y) =
= (x - y) (5x + y);

г) 5а² − 5 − 4(а + 1)² =
= 5(a² - 1) - 4(a + 1)² =
= 5(a - 1) (a + 1) - 4(a + 1)² =
= (a + 1) (5(a - 1) - 4(a + 1)) =
= (a + 1) (5a - 5 - 4a - 4) =
= (a + 1) (a - 9).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $a^2 - b^2 + 2(a + b)^2$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a - b)(a + b) + 2(a + b)^2$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:

$(a + b) \cdot ((a - b) + 2(a + b))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$(a - b) + 2(a + b) = a - b + 2a + 2b = (a + 2a) + (-b + 2b) = 3a + b$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(a + b)(3a + b)$

Ответ: $(a + b)(3a + b)$

б) $b^2 - c^2 - 10(b - c)^2$

Сначала применим формулу разности квадратов к выражению $b^2 - c^2$: $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$.

Заменим $b^2 - c^2$ в исходном выражении:

$(b - c)(b + c) - 10(b - c)^2$

Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c) \cdot ((b + c) - 10(b - c))$

Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:

$(b + c) - 10(b - c) = b + c - 10b + 10c = (b - 10b) + (c + 10c) = -9b + 11c = 11c - 9b$

В результате получаем следующее разложение:

$(b - c)(11c - 9b)$

Ответ: $(b - c)(11c - 9b)$

в) $2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2$

В выражении $3x^2 - 3y^2$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - y^2)$.

Далее применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Тогда $3x^2 - 3y^2 = 3(x - y)(x + y)$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$2(x - y)^2 + 3(x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y) \cdot (2(x - y) + 3(x + y))$

Упростим выражение во второй скобке:

$2(x - y) + 3(x + y) = 2x - 2y + 3x + 3y = (2x + 3x) + (-2y + 3y) = 5x + y$

Окончательный вид разложения на множители:

$(x - y)(5x + y)$

Ответ: $(x - y)(5x + y)$

г) $5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2$

Сначала преобразуем выражение $5a^2 - 5$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5(a^2 - 1)$

Используем формулу разности квадратов для $a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$.

Таким образом, $5a^2 - 5 = 5(a - 1)(a + 1)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$5(a - 1)(a + 1) - 4(a + 1)^2$

Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1) \cdot (5(a - 1) - 4(a + 1))$

Упростим выражение во второй скобке:

$5(a - 1) - 4(a + 1) = 5a - 5 - (4a + 4) = 5a - 5 - 4a - 4 = (5a - 4a) + (-5 - 4) = a - 9$

В результате получаем разложение на множители:

$(a + 1)(a - 9)$

Ответ: $(a + 1)(a - 9)$