Номер 793, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 10 - номер 793, страница 162.

Условие.

793. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

а) (х + у)(х² − ху + у²);
б) (х − у)(х² + ху + у²);

в) (а + b)(a³ − a²b + ab² − b³);
г) (а − b)(а³ + а²b + ab² + b³).

Решение 1.

а) (х + у)(х² − ху + у²) =
= x³ - x²y + xy² + x²y - xy² +
+ y³ = x³ + y³;

б) (х − у)(х² + ху + у²) =
= x³ + x²y + xy² - x²y - xy² -
- y³ = x³ - y³;

в) (а + b)(a³ − a²b + ab² − b³) =
= a⁴ - a³b + a²b² - ab³ +
+ a³b - a²b² + ab³ - b⁴ =
= a⁴ - b⁴;

г) (а − b)(а³ + а²b + ab² + b³) =
= a⁴ + a³b + a²b² + ab³ -
- a³b - a²b² - ab³ - b⁴ =
= a⁴ - b⁴.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что каждое выражение тождественно равно некоторому двучлену, мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

а)

Раскроем скобки в выражении $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot (-xy) + x \cdot y^2 + y \cdot x^2 + y \cdot (-xy) + y \cdot y^2 = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + 0 + 0 + y^3 = x^3 + y^3$.

Полученное выражение $x^3 + y^3$ является двучленом. Это тождество известно как формула суммы кубов.

Ответ: $x^3 + y^3$.

б)

Раскроем скобки в выражении $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot xy + x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 0 + 0 - y^3 = x^3 - y^3$.

Полученное выражение $x^3 - y^3$ является двучленом. Это тождество известно как формула разности кубов.

Ответ: $x^3 - y^3$.

в)

Раскроем скобки в выражении $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$:

$(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot (-a^2b) + a \cdot ab^2 + a \cdot (-b^3) + b \cdot a^3 + b \cdot (-a^2b) + b \cdot ab^2 + b \cdot (-b^3)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом.

Ответ: $a^4 - b^4$.

г)

Раскроем скобки в выражении $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$:

$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 + a \cdot b^3 - b \cdot a^3 - b \cdot a^2b - b \cdot ab^2 - b \cdot b^3$

$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом.

Ответ: $a^4 - b^4$.