Номер 4, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители вынесением общего множителя за скобки — это процесс нахождения общих частей в каждом члене многочлена и их "выноса" за скобку. Этот процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение общего множителя для коэффициентов.
Сначала рассмотрим числовые коэффициенты каждого члена многочлена: 2 у члена $2xy$ и 6 у члена $-6x^2$. Нам нужно найти их наибольший общий делитель (НОД).
НОД(2, 6) = 2.
Таким образом, числовая часть общего множителя — это 2.

2. Нахождение общего множителя для переменных.
Теперь рассмотрим переменные в каждом члене: $xy$ и $x^2$.
Первый член ($2xy$) содержит переменные $x$ в первой степени ($x^1$) и $y$ в первой степени ($y^1$).
Второй член ($-6x^2$) содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$).
Общей переменной для обоих членов является $x$. Чтобы найти общий множитель, мы берем общую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается. Сравнивая $x^1$ и $x^2$, наименьшая степень — это $x^1$, или просто $x$.
Переменная $y$ не является общей, так как она присутствует только в первом члене, но отсутствует во втором.

3. Формирование общего множителя.
Общий множитель для всего многочлена — это произведение общей числовой части и общей переменной части.
Общий множитель = (НОД коэффициентов) $\cdot$ (Общие переменные в наименьшей степени) = $2 \cdot x = 2x$.

4. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот шаг заключается в делении каждого члена исходного многочлена на найденный общий множитель ($2x$). Результаты деления записываются в скобках, а сам общий множитель ставится перед ними.
Делим первый член: $\frac{2xy}{2x} = y$.
Делим второй член: $\frac{-6x^2}{2x} = -3x$.
Собираем все вместе: $2xy - 6x^2 = 2x(y - 3x)$.

В результате мы представили многочлен в виде произведения общего множителя $2x$ и многочлена в скобках $(y - 3x)$. Проверить правильность можно, раскрыв скобки: $2x \cdot y - 2x \cdot 3x = 2xy - 6x^2$, что соответствует исходному выражению.

Ответ: Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители выполняется путем нахождения наибольшего общего множителя для его членов, который равен $2x$, и вынесения его за скобки. Для этого каждый член многочлена делится на $2x$, а результаты ($y$ и $-3x$) записываются в скобках, что приводит к выражению $2x(y-3x)$.