Номер 1, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть сложить с учётом их знаков).

Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения (и вычитания), которое в общем виде записывается так:
$a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$

Алгоритм умножения одночлена на многочлен:
1. Умножьте одночлен на первый член многочлена.
2. Умножьте одночлен на второй член многочлена.
3. Продолжайте умножение, пока одночлен не будет умножен на все члены многочлена.
4. Запишите полученные произведения в виде суммы.
5. Если в полученном многочлене есть подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью), приведите их (то есть сложите или вычтите их коэффициенты).

Пример:
Выполнить умножение одночлена $3a^2b$ на многочлен $(4ab^3 - 2a^2 + 5b)$.
$3a^2b \cdot (4ab^3 - 2a^2 + 5b)$

Шаг 1: Умножаем $3a^2b$ на первый член $4ab^3$.
$(3a^2b) \cdot (4ab^3) = (3 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) = 12a^{2+1}b^{1+3} = 12a^3b^4$

Шаг 2: Умножаем $3a^2b$ на второй член $-2a^2$.
$(3a^2b) \cdot (-2a^2) = (3 \cdot -2) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot b = -6a^{2+2}b = -6a^4b$

Шаг 3: Умножаем $3a^2b$ на третий член $5b$.
$(3a^2b) \cdot (5b) = (3 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) = 15a^2b^{1+1} = 15a^2b^2$

Шаг 4: Складываем полученные произведения.
$12a^3b^4 + (-6a^4b) + 15a^2b^2 = 12a^3b^4 - 6a^4b + 15a^2b^2$

В полученном многочлене $12a^3b^4 - 6a^4b + 15a^2b^2$ подобных членов нет, поэтому это является окончательным результатом.

Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.