Номер 953, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 953, страница 190.

Условие.

953. Докажите тождество а⁸ − b⁸ = (а − b)(а + b)(а² + b²)(а⁴ + b⁴).

Решение 1.

а⁸ − b⁸ = (a⁴)² - (b⁴)² =
= (a⁴ - b⁴) (a⁴ + b⁴) =
= ((a²)² - (b²)²) (a⁴ + b⁴) =
= (a² - b²) (a² + b²) (a⁴ + b⁴) =
= (а − b)(а + b)(а² + b²)(а⁴ + b⁴)

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Мы можем сделать это, преобразовав правую часть выражения и сведя ее к левой. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Правая часть тождества имеет вид: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

1. Начнем с умножения первых двух скобок:

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$

Теперь выражение принимает вид:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

2. Теперь умножим первые две скобки получившегося выражения. Снова используем формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ — $b^2$:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$

Выражение принимает вид:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4)$

3. На последнем шаге применим ту же формулу к оставшемуся выражению, где $x=a^4$ и $y=b^4$:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8-b^8$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна $a^8-b^8$, что в точности совпадает с его левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказывается путем последовательного применения формулы разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ к правой части выражения. Сначала $(a-b)(a+b)$ сворачивается в $a^2-b^2$. Затем, произведение $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$ равно $a^4-b^4$. Наконец, произведение $(a^4-b^4)(a^4+b^4)$ равно $a^8-b^8$, что и является левой частью тождества. Что и требовалось доказать.