Номер 1053, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Линейное уравнение с двумя переменными. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1053, страница 205.

1053. Ученик купил тетради по 50 р. и карандаши по 70 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 440 р.?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество тетрадей, а $y$ — количество карандашей, которые купил ученик.

Из условия известно, что цена одной тетради составляет 50 р., а цена одного карандаша — 70 р. Общая сумма, потраченная на покупку, равна 440 р.

Составим математическое уравнение, которое описывает общую стоимость покупки: $50 \cdot x + 70 \cdot y = 440$

Поскольку количество тетрадей и карандашей может быть только целым положительным числом, нам необходимо найти решения этого уравнения в натуральных числах.

Для упрощения уравнения разделим обе его части на 10: $5x + 7y = 44$

Теперь решим это линейное диофантово уравнение. Можно использовать метод подбора, перебирая возможные значения для одной из переменных. Выразим $x$ через $y$: $5x = 44 - 7y$ $x = \frac{44 - 7y}{5}$

Так как $x$ (количество тетрадей) должно быть положительным числом, то $44 - 7y > 0$. Отсюда следует, что $7y < 44$, или $y < \frac{44}{7} \approx 6.28$. Также, чтобы $x$ был целым числом, выражение $(44 - 7y)$ должно делиться на 5 без остатка, то есть оканчиваться на 0 или 5.

Проверим все возможные целые значения $y$ от 1 до 6:

- При $y = 1$: $44 - 7 \cdot 1 = 37$. Не делится на 5.

- При $y = 2$: $44 - 7 \cdot 2 = 44 - 14 = 30$. Делится на 5. Находим $x = \frac{30}{5} = 6$. Это подходящее решение, так как $x=6$ и $y=2$ — натуральные числа.

- При $y = 3$: $44 - 7 \cdot 3 = 23$. Не делится на 5.

- При $y = 4$: $44 - 7 \cdot 4 = 16$. Не делится на 5.

- При $y = 5$: $44 - 7 \cdot 5 = 9$. Не делится на 5.

- При $y = 6$: $44 - 7 \cdot 6 = 2$. Не делится на 5.

Таким образом, единственное возможное решение — это $x=6$ и $y=2$. Значит, ученик купил 6 тетрадей и 2 карандаша.

Сделаем проверку: $6 \text{ тетрадей} \cdot 50 \text{ р.} + 2 \text{ карандаша} \cdot 70 \text{ р.} = 300 \text{ р.} + 140 \text{ р.} = 440 \text{ р.}$

Расчеты верны. Вопрос задачи: сколько тетрадей купил ученик.

Ответ: 6.