Номер 1054, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Линейное уравнение с двумя переменными. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1054, страница 205.

1054. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 3200 р. Глубокая тарелка стоит 350 р., а мелкая тарелка стоит 300 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купленных глубоких тарелок, а $y$ — количество купленных мелких тарелок. Поскольку количество тарелок может быть только целым положительным числом, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами.

Стоимость одной глубокой тарелки составляет 350 рублей, а одной мелкой — 300 рублей. Общая стоимость покупки — 3200 рублей. Мы можем составить уравнение на основе этих данных:

$350 \cdot x + 300 \cdot y = 3200$

Для упрощения решения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 10:

$35x + 30y = 320$

Теперь разделим обе части на 5:

$7x + 6y = 64$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому уравнению. Такой тип уравнений, где решения ищутся в целых числах, называется диофантовым уравнением. Мы можем решить его методом подбора, ограничив возможные значения переменных.

Выразим одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:

$7x = 64 - 6y$

$x = \frac{64 - 6y}{7}$

Так как $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным: $64 - 6y > 0$. Отсюда $6y < 64$, что означает $y < 10\frac{2}{3}$. Также, $y$ должно быть натуральным числом ($y \ge 1$). Следовательно, мы можем проверить все целые значения $y$ от 1 до 10. Нам нужно найти такое значение $y$, при котором выражение $(64 - 6y)$ будет делиться на 7 без остатка.

Проведем перебор значений $y$:
- При $y=1$: $64 - 6(1) = 58$ (не делится на 7).
- При $y=2$: $64 - 6(2) = 52$ (не делится на 7).
- При $y=3$: $64 - 6(3) = 46$ (не делится на 7).
- При $y=4$: $64 - 6(4) = 40$ (не делится на 7).
- При $y=5$: $64 - 6(5) = 34$ (не делится на 7).
- При $y=6$: $64 - 6(6) = 28$. $28$ делится на 7. Тогда $x = \frac{28}{7} = 4$. Это решение ($x=4, y=6$) нам подходит, так как оба числа натуральные.
- При $y=7$: $64 - 6(7) = 22$ (не делится на 7).
- При $y=8$: $64 - 6(8) = 16$ (не делится на 7).
- При $y=9$: $64 - 6(9) = 10$ (не делится на 7).
- При $y=10$: $64 - 6(10) = 4$ (не делится на 7).

Таким образом, единственным решением в натуральных числах является $x=4$ (глубокие тарелки) и $y=6$ (мелкие тарелки).

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение стоимости: $350 \cdot 4 + 300 \cdot 6 = 1400 + 1800 = 3200$ рублей. Сумма совпадает с условием задачи, следовательно, решение верно.

Ответ: хозяйка купила 4 глубокие и 6 мелких тарелок.