Номер 1060, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Линейное уравнение с двумя переменными - номер 1060, страница 205.

Условие.

1060. Разложите на множители:
а) 1 + а − а² − а³;
б) 8 − b³ + 4b − 2b².

Решение 1.

а) 1 + а − а² − а³ =
= (1 + a) - (a² + a³) =
= (1 + a) - a²(1 + a) =
= (1 + a) (1 - a²) =
= (1 + a) (1 - a) (1 + a) =
= (1 + a)² (1 - a);

б) 8 − b³ + 4b − 2b² =
= (8 - b³) + (4b - 2b²) =
= (2 - b) (4 + 2b + b²) + 2b(2 - b) =
= (2 - b) (4 + 2b + b² + 2b) =
= (2 - b) (4 + 4b + b²) =
= (2 - b) (2 + b)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $1 + a - a^2 - a^3$

Для разложения на множители многочлена $1 + a - a^2 - a^3$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(1 + a) + (-a^2 - a^3)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из второй группы $(-a^2 - a^3)$ вынесем за скобки $-a^2$:

$(1 + a) - a^2(1 + a)$

Теперь мы видим общий множитель $(1 + a)$, который можно вынести за скобки:

$(1 + a)(1 - a^2)$

Выражение в скобках $(1 - a^2)$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(1 + a)(1 - a)(1 + a) = (1 - a)(1 + a)^2$

Ответ: $(1 - a)(1 + a)^2$

б) $8 - b^3 + 4b - 2b^2$

Для разложения на множители многочлена $8 - b^3 + 4b - 2b^2$ также используем метод группировки. Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их:

$(8 - b^3) + (4b - 2b^2)$

Разложим на множители каждую группу. Первая группа $(8 - b^3)$ — это разность кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$8 - b^3 = 2^3 - b^3 = (2 - b)(2^2 + 2 \cdot b + b^2) = (2 - b)(4 + 2b + b^2)$

Из второй группы $(4b - 2b^2)$ вынесем общий множитель $2b$:

$4b - 2b^2 = 2b(2 - b)$

Теперь подставим разложенные группы обратно в исходное выражение:

$(2 - b)(4 + 2b + b^2) + 2b(2 - b)$

Мы видим общий множитель $(2 - b)$, вынесем его за скобки:

$(2 - b)((4 + 2b + b^2) + 2b)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$4 + 2b + b^2 + 2b = b^2 + 4b + 4$

Выражение $b^2 + 4b + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$b^2 + 4b + 4 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = (b + 2)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(2 - b)(b + 2)^2$ или $(2 - b)(2 + b)^2$

Ответ: $(2 - b)(2 + b)^2$