Номер 1056, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Линейное уравнение с двумя переменными. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1056, страница 205.

1056. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку, по 10 р. за каждую, и тетради в клетку, по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.
а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто − задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Обозначим количество тетрадей в линейку за $x$, а количество тетрадей в клетку — за $y$. Стоимость тетрадей в линейку составляет 10 рублей за штуку, а в клетку — 15 рублей. Общая сумма покупки — 320 рублей. Составим уравнение, исходя из условий задачи: $10x + 15y = 320$ где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Для удобства расчетов разделим обе части уравнения на 5: $2x + 3y = 64$

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

Если количество тетрадей одинаково, то $x = y$. Подставим это условие в исходное уравнение: $10x + 15x = 320$ $25x = 320$ $x = \frac{320}{25} = \frac{64}{5} = 12.8$ Поскольку количество тетрадей должно быть целым числом, а 12.8 — не целое число, купить одинаковое количество тетрадей в линейку и в клетку невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

Нам нужно найти все целочисленные неотрицательные решения уравнения $2x + 3y = 64$. Выразим $x$ через $y$: $2x = 64 - 3y$ $x = \frac{64 - 3y}{2} = 32 - 1.5y$ Чтобы $x$ был целым числом, выражение $1.5y$ должно быть целым, что возможно только если $y$ — четное число. Также, поскольку $x \ge 0$, должно выполняться неравенство $64 - 3y \ge 0$, откуда $3y \le 64$, то есть $y \le \frac{64}{3} \approx 21.33$. Таким образом, $y$ может быть любым четным числом от 0 до 20 включительно. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого возможного $y$:

• Если $y = 0$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 0 = 32$. Пара: (32; 0).
• Если $y = 2$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 2 = 29$. Пара: (29; 2).
• Если $y = 4$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 4 = 26$. Пара: (26; 4).
• Если $y = 6$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 6 = 23$. Пара: (23; 6).
• Если $y = 8$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 8 = 20$. Пара: (20; 8).
• Если $y = 10$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 10 = 17$. Пара: (17; 10).
• Если $y = 12$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 12 = 14$. Пара: (14; 12).
• Если $y = 14$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 14 = 11$. Пара: (11; 14).
• Если $y = 16$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 16 = 8$. Пара: (8; 16).
• Если $y = 18$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 18 = 5$. Пара: (5; 18).
• Если $y = 20$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 20 = 2$. Пара: (2; 20).

Пары указаны в формате (количество тетрадей в линейку; количество тетрадей в клетку).
Ответ: (32; 0), (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которое можно купить при указанном условии.

Нужно найти максимальное значение суммы $S = x + y$. Используя выражение $x = 32 - 1.5y$ из пункта б), подставим его в формулу для $S$: $S(y) = (32 - 1.5y) + y = 32 - 0.5y$ Чтобы максимизировать $S$, необходимо минимизировать $y$. Минимальное возможное значение для $y$ равно 0. При $y = 0$, $x = 32$. Общее количество тетрадей: $S = 32 + 0 = 32$. Это означает, что для получения максимального количества тетрадей нужно покупать только более дешевые тетради (в линейку).
Ответ: 32 тетради.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которое можно купить при указанном условии.

Нужно найти минимальное значение суммы $S = x + y$. Из анализа в пункте в) мы знаем, что $S(y) = 32 - 0.5y$. Чтобы минимизировать $S$, необходимо максимизировать $y$. Максимальное возможное значение для $y$ (согласно решению из пункта б)) равно 20. При $y = 20$, $x = 2$. Общее количество тетрадей: $S = 2 + 20 = 22$. Это означает, что для получения минимального количества тетрадей нужно покупать как можно больше более дорогих тетрадей (в клетку).
Ответ: 22 тетради.